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第十章 图论(Graph Theory) ;10.1 图的基本概念 ; 图 哥尼斯堡七桥问题;10.1.1 图 ; 图 ; 定义一个图G是一个序偶〈V(G), E(G)〉， 记为G＝〈V(G), E(G)〉。 其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合， 对E(G)中的每条边， 有V(G)中的结点的有序偶或无序偶与之对应。 若边e所对应的结点对是有序偶〈a,b〉,则称e是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。若边e所对应的结点对是无序偶(a,b) ,则称e是无向边。这时统称e与两个结点a和b互相关联。;【例10.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中 V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b)。则图G可用图10.1.2(a)或(b)表示。;图 10.1.2 ;图 10.1.2 ;2. 图G的结点与边之间的关系 邻接点: 同一条边的两个端点。 孤立点: 没有边与之关联的结点。 邻接边: 关联同一个结点的两条边。 孤立边: 不与任何边相邻接的边。 自???路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。; 如例中的图，结点集V＝｛a，b，c，d｝， 边集 E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中 e1＝（a，b），e2＝（a, c），e3＝（a，d）， e4＝（b, c）， e5＝（c, d）。 d与a、 d与c是邻接的， 但d与b不邻接， 边e3与e5是邻接的。 ; 【例10.1.3】设图G＝〈V ,E〉 如图所示。 这里V＝｛v1，v2，v3｝， E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝， 其中e1 =(v1, v2) ，e2=(v1，v3) ， e3 =(v3, v3), e4 =(v2, v3), e5=(v2，v3)。 在这个图中，e3是关联同一个结点的一条边,即自回路；边e4和e5都与结点v2、 v3关联，即它们是平行边。 ; 3. 图G的分类 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点, m条边的图; 特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为平凡图 。 (2) 按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简单图; 多重图:含有平行边的图（如图 10 .1. 3） ； 线 图: 非多重图称为线图； 简单图:不含平行边和自环的图。;G1、G2是多重图; (3)按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图; 有向图：每条边都是有向边的图称为有向图 （图 10 .1.4 (b))； 无向图：每条边都是无向边的图称为无向图； 混合图：既有无向边, 又有有向边的图称为混合图。 (4)按G的边旁有无数量特征分为加权图、无权图(如图 10.1.4);;图 10 .1. 4; ;例;给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成一个 具有同样结点的完全图,方法是把那些缺少的边添上。 定义10.1.2 设G＝〈V, E〉是一个具有n个结点的简单 图。以V为结点集，以从完全图Kn中删去G的所有边后 得到的图（或由G中所有结点和所有能使G成为完全图 的添加边组成的图）称为G的补图，记为 。 例如，零图和完全图互为补图。 ;G相对于Kn的补图是下图中的;第二十一页，共二百三十七页。;; 【例10.1.4】（拉姆齐问题）试证在任何一个有６个人的组里， 存在３个人互相认识， 或者存在３个人互相不认识。 我们用６个结点来代表人， 并用邻接性来代表认识关系。 这样一来， 该例就是要证明： 任意一个有６个结点的图G中， 或者有３个互相邻接的点， 或者有３个互相不邻接的点。 即， 对任何一个有６个结点的图G， G或 中含有一个三角形（即K3）。 ; 证明: 设G＝〈V ,E〉， |V|＝6， v是G中一结点。 因为v 与G的其余５个结点或者在 中邻接， 或者在G中邻接。 故不失一般性可假定， 有３个结点v1， v2， v3在G中与v??接。 如果这３个结点中有两个结点（如v1， v2）邻接， 则它们与v 就是G中一个三角形的３个顶点。 如果这3个结点中任意两个在G中均不邻接， 则v1， v2， v3就是 中一个三