第一节数学期望.ppt

第一节数学期望; ;第一节 数学期望(mathematical expectation);一、离散型随机变量的数学期望 ;可以想象，若另外统计100天，车工小赵不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数不一定是1.27。;则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的。;定义4.1 设离散型随机变量X有概率分布 P{X=xk}=pk , k=1, 2,…;注;;2) 二项分布;3) 泊松分布;X服从几何分布，其概率分布为;定义4.2 设连续型随机变量X有概率密度函数 f (x)，若积分 绝对收敛，则;常见的连续型随机变量的数学期望;2) 指数分布;3) 正态分布;三、随机变量函数的数学期望; 使用上述方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的。;定理4.1 (1) 设X是离散型随机变量，有概率分布 ，若级数 绝对收敛，则随机变量X的函数Y=g(X)的数学期望为; 该定理的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。; 方法二：;有;例4.9 测量球的直径，设其值均匀分布在区间(a, b)内，求球体积的数学期望。;四、二维随机变量的函数的数学期望;例4.10 设二维随机变量(X, Y)在矩形区域D:0<x<1, 0<y<2上服从均匀分布，求E(X), E(Y)和E(XY).;五、数学期望的性质;解 因;例4.12 把数字1, 2, …, n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.;例4.13 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利10万元，若发生一次故障，仍可获利5万元，若发生两次故障，获利为零，若至少发生三次故障，要亏损2万元，求一周内的利润期望。;例4.14 设随机变量X, Y的概率密度分别为第一节数学期望; ;第一节 数学期望(mathematical expectation);一、离散型随机变量的数学期望 ;可以想象，若另外统计100天，车工小赵不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数不一定是1.27。;则对X作一系列观察(试验)，所得X的试验值的平均值也是随机的。;定义4.1 设离散型随机变量X有概率分布 P{X=xk}=pk , k=1, 2,…;注;;2) 二项分布;3) 泊松分布;X服从几何分布，其概率分布为;定义4.2 设连续型随机变量X有概率密度函数 f (x)，若积分 绝对收敛，则;常见的连续型随机变量的数学期望;2) 指数分布;3) 正态分布;三、随机变量函数的数学期望; 使用上述方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的。;定理4.1 (1) 设X是离散型随机变量，有概率分布 ，若级数 绝对收敛，则随机变量X的函数Y=g(X)的数学期望为; 该定理的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。; 方法二：;有;例4.9 测量球的直径，设其值均匀分布在区间(a, b)内，求球体积的数学期望。;四、二维随机变量的函数的数学期望;例4.10 设二维随机变量(X, Y)在矩形区域D:0<x<1, 0<y<2上服从均匀分布，求E(X), E(Y)和E(XY).;五、数学期望的性质;解 因;例4.12 把数字1, 2, …, n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.;例4.13 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时，全天停止工作。一周五个工作日，若无故障，可获利10万元，若发生一次故障，仍可获利5万元，若发生两次故障，获利为零，若至少发生三次故障，要亏损2万元，求一周内的利润期望。;例4.14 设随机变量X, Y的概率密度分别为