第26练 导数的概念.docx

第26练　导数的概念 一、选择题 1.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　) A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙 C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定 答案　B 解析　设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC， 由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC， s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC. 因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙． 2．一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42 m/s，其实际意义是(　　) A．物体5 s内共走过42 m B．物体每5 s运动42 m C．物体从开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s D．物体在t＝5 s时的瞬时速度为42 m/s 答案　D 解析　由导数的物理意义知，s′(5)＝42 m/s表示物体在t＝5 s时的瞬时速度． 3．已知某物体的运动方程是s(t)＝t＋eq \f(1,9)t3(s的单位：m，t的单位：s)，则当t＝3 s时的瞬时速度为(　　) A．4 m/s B．2 m/s C．1 m/s D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋Δt＋\f(1,9)?Δt?2)) m/s 答案　A 解析　eq \f(s?3＋Δt?－s?3?,Δt) ＝eq \f(?3＋Δt?＋\f(1,9)?3＋Δt?3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,9)×33)),Δt) ＝4＋Δt＋eq \f(1,9)(Δt)2， 当Δt无限趋近于0时，4＋Δt＋eq \f(1,9)(Δt)2无限趋近于4， 所以当t＝3 s时的瞬时速度为4 m/s. 4．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　) A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 答案　B 解析　根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数， 即f(x)在x0处切线的斜率，故f′(x0)＝－eq \f(1,2)<0. 5.(多选)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值的排序正确的是(　　) A．f′(3)<f′(2) B．f′(3)<f(3)－f(2) C．f′(2)<f(3)－f(2) D．f(3)－f(2)<0 答案　AB 解析　由函数的图象可知函数f(x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f′(2)>f′(3)．记A(2，f(2))，B(3，f(3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝eq \f(f?3?－f?2?,3－2)＝f(3)－f(2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0. 二、填空题 6．函数y＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为______． 答案　3 解析　函数y＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为eq \f(22－12,2－1)＝3. 7．若f′(x0)＝2，则eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f?x0?－f?x0＋Δx?,2Δx)＝________. 答案　－1 解析　eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f?x0?－f?x0＋Δx?,2Δx) ＝－eq \f(1,2)eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx) ＝－eq \f(1,2)?f′(x0)＝－1. 8．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，则实数a的值为________． 答案　2 解析　由导数定义可求得f′(x)＝2x＋a， 依题意可知f′(1)＝2＋a＝4，a＝2. 9．已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)在点(2,4)处的切线方程为________________． 答案　4x－y－4＝0 解析　由导数定义知，f′(x)＝2x，则f′(2)＝4， ∴曲线y＝f(x)在点(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，整理得4x－y－4＝0. 三、解答题 10．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在0.2处的瞬时变化率． 解　(1)因为f(x)＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 eq \f(3×0.22＋5－3×0.12－5,0.2－0.1)＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3xeq \o\al(2,0)＋5) ＝3xeq \o\