特性值和特性向量胡建华.ppt

特性值和特性向量胡建华 -*- 把(1)改写为 定义 设 , 如果存在数 和非零向量 满足 则称数 为A的特征值, 称非零向量 为A的对应于(或属于)特征值 的特征向量. 由(2)得 ◆ 是A的特征值 ◆ 是A的属于特征值 的特征向量 是齐次方程组 的非零解 一、特征值与特征向量的概念 -*- 由代数基本定理，n次代数方程在复数域上恰有 n 个根(重根按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数域上恰有 n 个特征值. 约定关于特征值、特征向量的讨论在复数域上进行. 记 称 为 A 的特征多项式，称 为 A 的特征方程. 由前面的分析，特征方程的根即为A的特征值. -*- 解特征方程 例1 求矩阵 的特征值与特征向量. 解 求特征多项式 得特征值为 -*- 解方程组 ，得基础解系： 则属于特征值 的所有的特征向量为 解方程组 ，得基础解系： 则属于特征值 的所有的特征向量为 -*- 例2 求矩阵 的特征值. 得 A 的 n 个特征值为 问 对角矩阵,下三角矩阵的特征值等于什么？ 解 由 -*- 例3 求矩阵 的特征值和特征向量. 解 -*- A 的特征值为 对于 ，解方程组 同解方程组为 ，令 ，得基础解系 因此，对应于特征值 的所有特征向量为 -*- 对于特征值 ，解方程组 同解方程组为 ，令 得基础解系 因此，对应于特征值 的所有特征向量为 -*- 回答问题(测试对特征值与特征向量概念的理解)： (1) 向量 满足 , 是 A 的特征向量吗？ (2) 实矩阵的特征值与特征向量一定是实的吗? (4) 矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是 A 的所有特征值______. (5)设 ，A 必有一个特征值为______. (3) 设 ，A 有一个特征值为______. 设 可逆, A 的特征值一定不等于______. (6) A 的特征值与 的特征值有什么关系？ (7) 一个特征值对应于几个特征向量?其中线性无关的特征 向量有几个？ -*- 例4 证明：一个特征向量只能对应一个特征值. 证 假设 是 A 的一个特征向量，其对应的特征值有两个 和 . 移项 则 例5 设 ，证明 A 的特征值只能是0或1. 证 设 是 A 的一个特征向量，对应的特征向量为 . 则 由 再 -*- 二、特征值与特征向量的性质 性质1 A 与 有相同的特征值. 性质2 设 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值为 ， 是一多项式，则 的 n 个特征值为 且对应的特征向量相同. 例如：设2阶矩阵A的两个特征值为 ，则 的两个特征值为 -*- 性质3 设 n 阶可逆矩阵 A 的 n 个特征值为 ， 则 的 n 个特征值为 且对应的特征向量相同. 性质4 设 n 阶可逆矩阵 的 n 个特征值为 ， 则 -*- 例6 设3阶矩阵A的三个特征值为 , 求 解 的三个特征值为 计算得 因此 矩阵 -*- 解 由 例7 已知矩阵 的3个特征值为 ， 得 解之 求 x，y. -*- 定义 设A，B都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P，使得 则称A与B相似 ，记为A～B. 特别地，如果矩阵 A 与对