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研究生课程教学大纲
课程名称： 定性理论
QualitativeTheory
课程编号： 7092002
开课学
开课单位： 理学院 2
期：
课内学时： 48 学分： 3
适用学科专业及层次： 统计学硕士研究生
预修课程： 常微分方程、线性代数
任课教师：
一、课程性质、学习目标及要求
本课程是应用统计学专业学位硕士研究生的专业选修课，统计学学术学位硕
士研究生的专业选修课。
本课程主要介绍定性分析的基本理论和方法，也就是不求解微分方程的解析
解或者数值解而研究时间趋于无穷时解的渐近性态，其内容包括定性理论和稳定
性理论以及在物理学、生态学、传染病学等学科的应用举例。通过本课程的学习，
使学生掌握动力系统基本理论，培养学生运用动力系统理论和方法分析和解决实
际问题的能力。
二、课程内容与学时分配
1 4
第 章常微分方程基本定理（ 学时）
1.1 1
解的存在唯一性定理；（ 学时）
1.2 1
解的延拓（ 学时）
1.3 解对初值和参数的连续依赖性和可微性 （1学时）
1.4 比较定理 （1学时）
第2 章 动力系统的基本知识 （4 学时）
2 .1 自治系统与非自治系统 （1学时）
2 .2 轨线的极限集合 （1学时）
2 .3 平面上的极限集 （1学时）
2 .4 极限集的应用实例 （1学时）
第3 章 常微分方程稳定性理论 （17 学时）
3 .1 稳定性的定义和例子 （2 学时）
3 .2 自治系统零解的稳定性 （2 学时）
3 .3 非自治系统零解的稳定性 （2 学时）
3 .4 全局稳定性 （2 学时）
3 .5 线性系统及其扰动系统的稳定性 （3 学时
3 .6 临界情形下奇点的稳定性分析 （2 学时）
3 .7Liypunov 函数的构造 （2 学时）
3.8 判定稳定性时的比较方法 （2 学时）
第4 章 基于最大值原理的比较方法及其应用 （10 学时）
4 .1 最大值原理 （2 学时）
4 .2 嵌入定理，线性问题解的存在唯一性及估计 （2 学时）
4 .3 椭圆型方程边值问题的比较方法 （2 学时）
4 .4 抛物型方程初边值问题的比较方法 （2 学时）
4 .5 抛物型方程初值问题的比较方法 （2 学时）
第5 章 平衡解的稳定性 （8学时）
5 .1 平衡解与稳定性 （2 学时）
5 .2 初边值问题平衡解的稳定性 （2 学时）
5 .3 初值问题的平衡解的稳定性 （2 学时）
5 .4 方程组初边值问题常数平衡解的稳定性 （2 学时）
第6 章 应用与举例 （5 学时）
6.1 传染病模型 （1学时）
6.2 一个总人口变化的SEIR 模型的全局性态分析 （2 学时）
6.3 一个具有非线性传染率的SI模型的稳定性与分支 （2 学时）
三、教学方式及要求
（正文为宋体小四号字。主要说明教学方式和课堂学习要求，比如讲授、实
验、讨论、案例分析等。）
教学方式采用教师讲授为主，学生讨论为辅。
四、考核及方式
考核方式为闭卷考试。
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