《变指数广义函数空间理论》研究课程教学大纲.pdf

研究生课程教学大纲 课程名称： 变指数索伯列夫空间理论 SobolevSpacewithVariableExponents 课程编号： 7092009 开课学 开课单位： 理学院 1 期： 课内学时： 32 学分： 2 适用学科专业及层次： 数学及工科硕士、博士研究生 预修课程： 数学分析、泛函分析 任课教师： 一、课程性质、学习目标及要求 变指数索伯列夫空间理论是应用数学、计算数学、基础数学的一门重要专业 课，变指数索伯列夫空间是由具有函数指数的广义函数组成的赋范线性空间，该 理论是研究非线性偏微分方程的有力工具。变指数模型出现在电流变流体学、磁 流变流体学以及数字图形图像处理学的研究中。相应常指数索伯列夫空间中的许 多经典方法，如范数的定义、伸缩不变性，在变指数索伯列夫空间中不再成立。 这给变指数问题的研究带来了本质的困难，同时也给研究工作增添了许多的乐 趣。本课程内容包括：具有变指数的勒贝格空间、索伯列夫空间中的函数定义、 范数定义、基本不等式、嵌入不等式、哈迪-索伯列夫不等式、函数逼近论、迭 代技术，以及在偏微分方程中的应用。通过学习，有助于基础数学和应用数学以 及相关理工科学生将掌握最新的偏微分方程的近现代理论和方法，能够灵活应用 以解决实际问题。 二、课程内容与学时分配 第1章 函数空间 （20学时） 1.1引言 1.2 具有变指数的Lebesgue空间 1.2.1 定义及基本性质 1.2.2 L 中的等价模及完备性 p(x) 1.2.3 L 的稠密子集 p(x) 1.3具有变指数的Sobolev空间 1.3.1定义及基本性质 1.3.2范数的定义和空间的完备性 1.4各向异性空间 1.4.1 光滑逼近问题 1.4.2子空间的定义 1.5重要结论 1.5.1 分部积分公式的证明 1.5.2 嵌入定理 1.5.3 插值不等式 第2章 具有变指数非线性项的多孔介质方程 （6学时） 2.1 解的适定性 2.1.1 解的存在性 2.1.2 解的唯一性 2.1.3 解的稳定性 2.2具有低阶项的方程组 2.2.1 先验估计 2.2.2 解的适定性 第3章 具有双重非线性项的各向异性抛物型方程组 （6学时） 3.1解的爆破 3.1.1 强解的定义 3.1.2 嵌入定理 3.1.3 爆破解存在的条件 3.2解的灭绝 3.2.1能量方法 3.2.2 灭绝解存在的条件 三、教学方式及要求 开展“以科研为导向”的授课方式，老师授课为主，并结合学生的专业方向， 设置合适的科研小题目，进行专题研讨，做到理论联系实际。 四、考核及方式 开卷考试。 成绩计算：满分100 分，其中，答辩分占50%，课程报告占50%。 答辩要求：平时布置适当的科研题目(结合自选)，分小组研讨并进行答