泊松过程课件.pptVIP

第三章 泊松过程(Poisson process);1．计数过程;注;2．泊松过程;注意;说明;则称;例3.1 考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫. 令X(t) 表示电话交换台在(0,t]时间段内收到的呼叫次数, 则 {X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故{X(t),t≥0} 是一个泊松过程. 其实对于任意的0≤t1＜t2＜…＜tn,随机变量X(t2)- X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间 段(t1,t2],(t2,t3],…,(tn-1,tn]内,电话交换台接到的 呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过程{X(t),t≥0} 是一个独立增量过程. 而且对于任意的s＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布可以 认为仅与t-s有关,故{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程.;例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果 记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则计 数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一 个泊松过程. 例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述.;补例;定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等价的. 证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平稳增量 过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推出定义3.3的 条件(3).由式 P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,n=0,1,2,…. 对充分小的h,有 P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)-X(0)=1} =e-λh =λh =λh[1-λh+o(h)] =λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=P{X(h)-X(0)≥2} = =o(h).; 以下证明定义3.3蕴涵定义3.2. 经比较,只需证明由 定义3.3中后两式可以推出定义3.2的(3)式.为此令 Pn(t)=P{X(t)=n}=P{X(t)-X(0)=n}. 根据定义3.3的(2)与(3),有 P0(t+h)=P{X(t+h)=0}=P{X(t+h)-X(0)=0} =P{X(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0} =P{X(t)-X(0)=0}P{X(t+h)-X(t)=0} =P0(t)[1-λh+o(h)], 所以 =-λP0(t)+ . 令h→0取极限得 P’0(t)=-λP0(t) 或 =-λ.; 积分得 lnP0(t)=-λt+C 即 P0(t)=ke-λt. 由于P0(0)=P{X(0)}=1, 代入前式得 P0(t)=e-λt. 类似地,对于n≥1,有 Pn(t+h)=P{X(t+h)=n}=P{X(t+h)-X(0)=n} =P{X(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0}+ P{X(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1}+ P{X(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j}. 根据定义3.3的(2)与(3),得 Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1(t)P1(h)+o(h) =(1-λh)Pn(t)+λhPn-1(t)+o(h) 于是,有; =-λPn(t)+λPn-1(t)+ . 令h→0取极限得 P’n(t)=-λPn(t)+λPn-1(t), 所以 eλt[P’n(t)+λPn(t)]=λeλtPn-1(t), 因此 [eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t). 当n=1时,得 [eλtP1(t)]=λeλtP0(t)=λeλte-λt=λ, P1(t)=(λt+c)e