(4.1.1)--9.1二重积分的概念与性质.ppt

高等数学 (2) 1 9.1 二重积分的定义与性质引例二重积分的定义2二重积分的性质3 一、引例1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底： xOy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积. 特例：平顶柱体的体积特点：平顶.柱体体积=底面积×高 特点：曲顶.柱体体积=？ 解法: 无限分割的思想“分割，近似，求和，取极限” ①分割：③求和：④取极限:以它们为底相应地曲顶柱体分为n个细曲顶柱体.在代表区域 中任取一点 ②近似： 用任意曲线网分D为n 个区域 二、二重积分的定义① 分割：③ 求和：④ 取极限:则称此极限值为 1、定义 设是有界闭区域上的有界函数,作乘积任取② 近似：用任意曲线网分D 为n个区域如果极限值存在，在区域 D 上的二重积分，记为个小区域，也表示该区域的面积，表示第 即被积函数被积表达式面积元素积分和积分区域如果 在D上可积,元素 d? 也常记作二重积分记作这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 2、几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当 被积函数在 D 上有正有负时,二重积分是xOy面上方的柱体体积 减去 xOy 面下方的柱体体积.若函数定理在D上可积.在有界闭区域 D上连续,则3、二重积分存在定理 三、二重积分的性质( k 为常数)? 为D 的面积, 则 特别地, 则5. 若在D上6. 设D 的面积为? ,则有7. (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续，? 为D 的面积 ,则至少存在一点使 例 比较下列积分的大小:其中D由坐标轴和直线 围成.解: 从而在 D内， 内容小结1. 二重积分的定义2. 二重积分的性质(与定积分性质相似) Thanks!