2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1 Word版含答案.docVIP

学业分层测评(九) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如图2-4-12所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝eq \f(1,2)BC，则sin∠MCA＝(　　) 图2-4-12 A.eq \f(1,2)　　　 B.eq \f(\r(2),2)　　　 C.eq \f(\r(3),2)　　　 D.eq \f(\r(5),5) 【解析】　由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC. ∵sin∠ABC＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(AC,\r(AC2＋BC2))＝eq \f(AC,\r(5)AC)＝eq \f(\r(5),5)，故选D. 【答案】　D 2．如图2-4-13，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是(　　) 图2-4-13 A．4　　 B．5 C．6 D．7 【解析】　∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE， ∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC. 【答案】　B 3.如图2-4-14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　) 图2-4-14 A．2 B．3 C．2eq \r(3) D．4 【解析】　连接BC.∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC，由弦切角定理可知， ∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD， ∴eq \f(AC,AD)＝eq \f(AB,AC)， ∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12， ∴AC＝2eq \r(3)，故选C. 【答案】　C 4．如图2-4-15，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于(　　) 【导学号 图2-4-15 A．20° B．25° C．30° D．40° 【解析】　如图，连接OC，BC， ∵PC切⊙O于C点， ∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°. ∵OC＝OB， ∴∠B＝eq \f(1,2)∠POC＝25°， ∴∠ACP＝∠B＝25°. 【答案】　B 5．如图2-4-16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是(　　) 图2-4-16 A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50° 【解析】　当点P在优弧上时， 由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°. ∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°. 当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°. 故选C. 【答案】　C 二、填空题 6.如图2-4-17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________. 　图2-4-17 【解析】　∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB. 又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB， ∴△ABD∽△ACB. ∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,AB)，∴AB2＝AD·AC＝mn， ∴AB＝eq \r(mn). 【答案】　eq \r(mn) 7．如图2-4-18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________． 图2-4-18 【解析】　连接OA， 则∠COA＝2∠CBA＝60°， 且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2. 又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD， 所以OD＝2OA＝4. 【答案】　4 8.如图2-4-19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________. 图2-4-19 【解析】　连接OC，∵PC切⊙O于点C， ∴OC⊥PC， ∵PB＝OB＝2，OC＝2， ∴PC＝2eq \r(3)，∵OC·PC＝OP·CD， ∴CD＝eq \f(2×2\r(3),4)＝eq \r(3). 【答案】　eq \r(3) 三、解答题 9．如图2-4-20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D. 图2-4-20 求证：△CTD为等腰三角形． 【证明】　∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT. 又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A. 又∵∠TDC＝∠A＋∠APD， ∠TCD＝∠BTP＋∠DPT， ∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形． 10．如图2-4-21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD交AB于点N，求证：MN2＝AD·BC. 图2-4-21 【证明】　连接AM，MB， 因为DA⊥AB，MN⊥CD， 所以∠MD