数的发展和演变.pptx

数的发展和演变;;有理数的发展大概可以分为以下几个阶段：;远古时期;罗马数字;筹算;0的引进和阿拉伯数字;发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数字都是自然数。出现分数以后，又解决了人们许多难题。但是，在生活中我们还见到过不少具有相反意义的量：前进和后退，向上和向下等等。这些又怎么表示呢？于是，人类又将这些具有相反意义的数称为“负数”。;又有学者发现了一些无法用自然数和负数表示的数。有这样一个故事：一个叫希帕索斯的学生画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理x2=12+12=2，可见对角线的长度是存在的，可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。其实，这就是后来人们发现的“无理数”，这些数无法用准确的数字表示出来，它们是无限不循环小数，所以就用“根（ ）”来表示。下面我们就来讲一讲无理数。; 在古希腊，有一个很了不起的数学家，叫做毕达哥拉斯，他开了一间学校，教了很多学生，他的学校的名字叫“毕达哥拉斯学园”。别的人也给它起了个名字，叫“毕达哥拉斯学派”，他们认为，数是世界的法则，是主宰生死的力量，他们就像崇拜天神一样崇拜数。毕达哥拉斯和他的学生们在学园里研究数学，做出了好多的数学发现，比如“毕达哥拉斯定理”就是这么发现的。这个定理，在我们中国叫“勾股定理”。; 毕达哥拉斯认为，世界上只存着整数和分数，除此之外，就再也没有什么别的数了，可是，他有一个学生，叫希伯索斯，就发现了这样的一种数，比如，一个边长是1的正方形，从一个角到对着它的一个角之间的线段长度是多少呢？ 毕达哥拉斯知道了学生的这个发现，大惊失色，因为如果承认了这个发现，那他们学派的基础就没有了，毕达哥拉斯这位伟大的数学家，在这上面的表现却很不光彩；他禁止希伯索斯把这个发现传出去，否则就要用学园的戒律来处置他——活埋。 毕达哥拉斯兴师问罪，然而希伯索斯事先已经得知了消息，他抢先一步逃走了。毕达哥拉斯学派是不会放过他的，他们在一条海船上发现了他，把希伯索斯装进了口袋，??进了大海，希伯索斯就这样被害死了！”。希伯索斯虽然被害死了，但是他发现的“新数”却还存在着，后来，人们从他的发现中知道了除去整数和分数之外，世界上还存还着一种“新数”。; 这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命。 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。; 假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B， A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。 对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立: A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。 B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数。B是所有≥1的有理数。 A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数。注:：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾。 第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理数。 前面2种情况中，分割是有理数。 这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。;16世纪意大利米兰学者卡当（1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为 这个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺。; 由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是