专题26 同构异构找点法.docxVIP

专题12同构异构找点法 通过上一讲我们发现ATM找点在高考中是一个组合拳，往往Area、Together、Morepower需要组合出招，一个个的点就如“取点(kuan)机”一样，信手拈来，找点问题也是高考中数学当中为数不多的开放性问题，就是不同的思考路径得到不同的结果. 其实关键就是找界限，代入最值解点，一旦趋向正无穷或者零的时候，我们开启倍数放缩(More power)，通常指数放大二倍，对数放大平方倍，显然，倍数放缩需要参照极值点，或者参照同类项(Together)找到的点进行倍数放大(缩小)，这样找点，方向准确，精准度不够，我们可以利用同构或者异构的方式来找点，这样来简化找点的过程. 一.同构找点法和异构找点法 例1.(2017.新课标I改编)已知函数.找一个比极小值大的点，使得，参考上一讲例题5，我们提供了如下解法: ，取， 所以，使得; 本题通过提公因式，再利用了六大同构函数的最值，从而快速找点. 我们回头反思之前的找点，我们来看一下模型题. ，我们发现这样无解，因为阶位拆分不到位，故我们应该换一种尝试:，取，这样就能快速找点，一切还是源于同构. 同理:，取. ，取. 我们将这类无界函数通过提公因式后转化为有界同构函数的找点方法叫做同构找点法，也是ATM找点之Super area. 关于超级设界找点，我们更愿意理解为同构找点，就是利用六大同构函数的有界性来设立界限，当，是一个递增更快的函数，数学中称之为高阶无穷大，相比之下是一个低阶无穷大，在前面章节介绍同构函数来分而治之解答恒成立问题的时候，通常是有最小值，有最大值，本题当中，由于要找一个大点，且函数位于递增区间，故需要放缩成小的函数，所以我们有了提公因式 既然有了同构找点，必然也有着异构找点. 我们要构造一个小函数，其中为可解方程，不妨构造，其中，本题我们可以这样操作: ，取，所以，使得; 如果我们要构造，其中为可解方程，不妨构造，其中，这样放大通过异构恒负，缩小异构恒正，此类找点方法我们称之为异构找点法.其本质就是通过剥离方式简化函数，让不可解方程快速转化为可解方程. 二.二次切线异构法. ,由于在处取得极小值,故切线为,由于时,,值域跨度小，直接利用Area放缩找点即可.但是当时，，属于无界函数，递增速度很快，当时，，当时，，正负性发生了改变，如果直接对函数当中部分进行放缩，则在不同区间要用不同的函数来放缩，造成比较大的麻烦. 一次函数切线与原函数拟合接近程度较低，于是高考中就考到了的二次函数切线，我们可以构造函数，易知，，，恒成立，单调递增，所以时，，有；时，，此时有(如图6-1)，至于为什么它们相切于点，不妨看一下是否等于零. 图6-1 的二次切线函数，在近几年的高考当中考查甚广，除了找点问题，还有偏移构造的问题，2021新高考II卷压轴题就考到了，我们在上一讲提到了Area找点法破解了条件①，我们接着来分析本题的命题逻辑，还有②的解决方案. 例1.(2021-新高考II)已知函数. (I)讨论的单调性; (II)从下面两个条件中选一个，证明:恰有一个零点. 例2.(2016新课标Ⅰ)已知函数有两个零点. (I)求的取值范围; (II)设，是的两个零点，证明:. 例3.(2021?天津)已知，函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)证明函数存在唯一的极值点; (3)若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围. 三.同构异构找点破解飘带函数零点问题 与飘带函数的回穿关系 ，；，； 图6-5 证明:构造函数，则，而，故当时，;当时(如图6-5). 构造函数，则，而，故当时， ;当时，(证明对数平均不等式的常用模型). 把上式中的换成，得: ，；， 命题:若，当时，有且仅有零点..如图6-6)； 当时，有三个零点，，，且(如图6-7); 例4.(2022-达州期末)已知函数. (1)若函数在处的切线是，求的值; (2)当时，讨论函数的零点个数. 例5.(2022乙卷文科)已知函数 (1)当时，求的最大值; (2)若恰有一个零点，求的取值范围. 例6.(2022.广西模拟已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性，并证明:,; (2)若函数与的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围. 注意:找点的放缩式考试中需要证明才能使用. 本题的同构找点解法如下: 当时，，取.部分的同构找点和本题的异构找点就请大家自己完成吧. 四.指对跨阶找点 指对跨阶，在处理恒成立问题时，大家熟悉的同构和异构成为了解决这类问题的杀手锏，在参数取得恒成立的补集区间，就会产生两个零点的问题，关于指对跨阶，这里的同构异构找点也无处不在，将跳阶函数转化为连续的跨阶函数找点.. 例7.(2022名校联盟)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)设，若恒成立，求实数的取值范围