专题5 函数单调性与奇偶性.docxVIP

高中数学新思路 第三章 函数的概念与性质 PAGE PAGE 1 专题5 函数单调性与奇偶性 函数的性质，包含单调性、奇偶性、对称性、周期性，本节我们会在重点阐述这些问题的同时，并系统将抽象函数的一些解题方法进行归纳，函数太需要扎实的基本功． 知识点一 函数单调性 一．增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 1．属于定义域内某个区间上； 2．任意两个自变量且； 3．都有或； 4．图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． 二.单调性与单调区间 1．单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． 2．函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 三 证明函数单调性的步骤 1．取值：设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； 2．变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 3．定号：判断差的正负或商与的大小关系； 4．得出结论． 四 函数单调性的判断方法 1定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． 2图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． 3直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 4记住几条常用的结论： （1）若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； （2）若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数； （3）若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 五 复合函数单调性的判断 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性． 一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1．若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2．若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数． 列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作： 1．将复合函数分解成基本初等函数：，； 2．分别确定各个函数的定义域； 3．分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间． 注 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数． 六 利用函数单调性求函数最值 利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： 1．如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数 在处有最大值． 2．如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数 在处有最小值． 3．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． 4．若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． 5．若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 七 利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1．若在上恒成立在上的最大值． 2．若在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 八 基本初等函数的单调性 1．正比例函数： 当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数在定义域上是减函数． 2．一次函数： 当时，函数在定义域上是增函数；当时，函数在定义域上是减函数． 3．反比例函数： 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． 4．二次函数： 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 【例1】已知函数． （1）讨论的单调性；（2）试作出的图象． 【例2】判断下列函数的单调区间： （1）；（2）． 【例3】求下列函数的单调区间： （1）； （2）　（3）；（4）． 总结： （1）数形结合利用图象判断函数单调区间； （2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关． （3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化?复合函