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高中数学新思路 第四章 指数函数与对数函数 专题8 反函数与函数零点问题 知识点一 反函数 1.反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 注意：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2.反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上；反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 【例1】（2022?全国）函数的反函数是　　 A． B． C． D． 【例2】（2021?上海）下列函数中，在定义域内存在反函数的是　　 A． B． C． D． 【例3】（2020?上海）已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为　 　． 【例4】（2018?上海）设，函数． （1）若，求的反函数； （2）求函数的最大值（用表示）； （3）设．若对任意，，恒成立，求的取值范围． 3.原函数和反函数图象问题 图1 图2 定理1 指数函数和对数函数图象分别与直线交于和两点，则，如图1． 证明 由于和两点关于直线对称，故线段被直线垂直平分，且与交于点，故，即． 推论1 函数和分别与直线交于和两点，． 证明 令，则直线转化为，所以，故．此推论可以理解为将原来所有的函数向左平移了个单位，则对称轴与交点为，故，其本质就是对称轴与交点横坐标的两倍，即，如图2． 推论2 指数函数和对数函数分别与双曲线线交于和两点，则． 证明 因为是方程的根，是方程的根，又因为函数与函数互为反 函数，所以函数与函数的交点横坐标是函数与函数的交点纵坐标，又因为图象上点的横纵坐标之积为，所以． 【例5】设、分别是方程与的根，则　 　 ． 【例6】已知是方程的根，是方程的根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例7】（2022?成都月考）已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例8】方程的根为，方程的根为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例9】设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1.（2016?全国）函数的反函数是　　 A． B． C． D． 2.（2022?上海）设函数的反函数为，则　 　． 3.（2017?上海）定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为　 　． 4.（2015?上海）设为，，的反函数，则的最大值为　 　． 5．（2022?衡阳月考）若满足，满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 6.（2022?浙江期中）若是方程的根，是方程的根，则的值为　　 ． 7.（2022?岳麓期中）已知方程和的根分别是和，则函数的单调递增区间是　 　 ． 8.（2022?汉中月考）已知，，则 ． 9．若，分别是方程，的解，，则关于的方程的解的个数是（ ） A． B． C． D． 10．若是方程的解，是方程的解，则等于（ ） A． B． C． D． 知识点二 零点问题与二分法 1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 当满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0条件时，f(x)在(a，b)上有唯一零点.　 4.零点二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意：二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反)，因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法