6.2.3向量的数乘运算 教案-高中数学（人教A版2019）必修第二册.docx

6.2.3向量的数乘运算 一、教学目标 1）了解向量数乘的概念 2）理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算 3）理解并掌握向量共线定理及其判定方法 二、教学重点 了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义，理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的 数乘运算 教学难点 理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题 三、教学过程 1、情境引入 我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？ 问题1：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们的长度和方向是怎样的？ 答： =3a =-3a -3a的方向与a的方向相反， -3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a| 2、探索新知 1）定义： 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by scalar)，记作λa，它的长度与方向规定如下： （1） （2） 当时，的方向与的方向相同 当时，的方向与的方向相反 特别地，当λ=0或a=0时，λa =0 几何意义：将a的长度扩大（或缩小）|λ|倍，改变（不改变）a的方向，就得到了λa （也可以让学生自己解释其几何意义） 问题2：如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？ 向量a，b 之间的关系怎样？ 答：b=3.5 a b的方向与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍 问题3 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么，向量数乘运算有哪些运算律呢?请你写出来并加以验证 答： 2）实数与向量的积的运算律： （1） （结合律） ① （2） （第一分配律） ② （3） （第二分配律） ③ 特别地，我们有 (-λ)a=-(λa)= λ(-a) λ(a-b)= λa-λb 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)= λμ1a±λμ2b 【例1】 解： 【例2】 如图平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b， 试用a,b表示向量MA 、MB、MC和MD 解： 方法规律：向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 问题4：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 答：共线 3）共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b,则对于任意向量a，a∥b的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使a=λb 注意：1.向量共线的条件:当向量b=0时，b与任一向量a共线；当b≠0，对于向量a，如果存在一个实数λ，使a=λb那么由实数与向量积的定义知，a与b共线.反之，已知向量a与b共线,b≠0，且向量a的长度是向量b的长度的λ倍，即|a|=λ|b|，则当a与b同方向时，a=λb；当a与b反方向时，有a=-λb 2.已知三点A，B，C共线，O是平面内任意一点，则有OC=λOA+μOB 3.如果非零向量a与b不共线，且λa=μb，那么λ=μ=0 【例3】如图2，已知任意两个非零向量a，b，试作． 猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想 解：分别作向量OA、OB、OC，过点A、C作直线AC，观察发现， 不论向量怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线 因为AB AC 所以AC 因此A、B、C三点共线 【例4】已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数t的值 解析：由，不共线，易知为非零向量，由向量，共线 可知存在实数，使得，即 由，不共线，必有，否则，不妨设 则，由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾 由，解得，因此，当向量，共线时， 方法规律：1．证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得AB＝λAC (或BC＝λAB等)即可 (2)