6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（教师版） 讲义-人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册.docx

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一 分类加法计数原理 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (1)完成这件事的若干种方法可以分成n类； (2)每类方法都可以完成这件事，且类与类之间两两不交． (3)完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法． 二 分步乘法计数原理 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 注意点： (1)完成一件事有多个步骤，缺一不可； (2)每一步都有若干种方法． (3)如果完成一件事情需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 三 两个原理的简单应用 (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏． (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． 四 组数问题 常见的组数问题及解题原则 (1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等． (2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数 五 抽取与分配问题 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 六 涂色与种植问题 涂色与种植问题的四个解答策略 (1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算． (2)以颜色(种植作物)为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． (4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．  考点一 分类加法计数原理 【例1】(2020·上海浦东新·华师大二附中高二期中)从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有( )个 A．98 B．56 C．84 D．49 【答案】A 【解析】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况. 当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况. 当公差为时，数列可以是：，共1种情况. 总的情况是. 又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减， 所以这样的等差数列共有个. 故选：A 【练1】(2021·南宁市银海三美学校)某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有( ) A．32种 B．9种 C．12种 D．20种 【答案】C 【解析】从8名男生4名女生选取一名当组长，是男生的选法有8种，是女生选法的有4种，共有12种. 故选：C. 考点二 分步乘法计数原理 【例2】(2020·安徽合肥一中高二开学考试)某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有( )种 A．165 B．286 C．990 D．1716 【答案】D 【解析】第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法， 第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法， 第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法， 所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有(种). 故选：D 【练