2020-2021学年人教A版高中数学必修第二册专项训练第八章立体几何专题训练（十四）—大题综合练习（1）-【新教材】【含答案】.doc

立体几何专练（十四）—大题综合练习（1） 1．如图，长方体中，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 2．如图，已知三棱锥为正三棱锥，设其底面的边长为，侧棱长为． （1）设底边的中点为，若，求异面直线与所成角的大小； （2）设过底边的截面交侧棱于点，若，求截面面积的最小值． 3．空间四边形中，，点、分别为对角线、的中点． （1）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小； （2）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小． 4．如图，在五面体中，四边形是正方形，，，． （1）求证：平面平面； （2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由． 5．在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）为棱上的中点，求到面的距离． 6．如图所示，几何体中，四边形为菱形，平面，，，，，平面与平面的交线为． （1）证明：直线平面； （2）若直线与平面交于点，求四边形周长的范围． 立体几何专练（十四）—大题综合练习（1） 1．如图，长方体中，，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的大小． （1）证明：设和交于点，则为的中点． 连结，又因为是的中点，所以． 又因为平面，平面 所以直线平面． （2）解：由（1）知，，所以即为异面直线与所成的角． 因为，且， 所以． 又，，所以 故异面直线与所成角的大小为． 2．如图，已知三棱锥为正三棱锥，设其底面的边长为，侧棱长为． （1）设底边的中点为，若，求异面直线与所成角的大小； （2）设过底边的截面交侧棱于点，若，求截面面积的最小值． 解：（1）取的中点为，连结，， 在等边中，，， 所以为异面直线与所成的角， 在等边中，， 在等边中，， 在中，由余弦定理可知，， 故异面直线与所成角的大小为； （2），， 所以， 所以，设， 在等腰中，，， 当时，取得最小值，由等面积法， 解得，又， 所以， 则等腰中，，， 所以截面的面积的最小值为，当且仅当时取到等号． 3．空间四边形中，，点、分别为对角线、的中点． （1）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小； （2）若直线与所成角为，求直线与所成角的大小． 解：取的中点为，连结，， 因为点，分别为对角线，的中点， 所以，，且， 则为直线与所成的角或所成角的补角，为直线与所成角或所成角的补角， 又， 所以，即为等腰三角形． （1）若直线与所成角为，即， 则， 所以直线与所成的角为； （2）若直线与所成的角为，则或， 若，则，即直线与所成角为； 若，则，即直线与所成角为； 综上所述，直线与所成角为或． 4．如图，在五面体中，四边形是正方形，，，． （1）求证：平面平面； （2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由． （1）证明：四边形是正方形，． 又，， 平面，面， 平面平面． （2）存在． ，面，面，并且面面，． 取中点，中点，取中点，中点，连，，， 可得，且，故四边形为平行四边形，． 又为中点，在中，， ，， 面面， 在棱上，故当且仅当与重合时，面， ． 5．在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）为棱上的中点，求到面的距离． 证明：平面，平面，平面， ，， 在梯形中，过点作作于， 在中，，， 又在中，，， ，，，① ，，，平面，平面， 平面，平面，， 由①②，，平面，平面， 平面， 平面，平面平面． 解：由（Ⅰ）可知平面且， ， 由等积法得到到面的距离． 6．如图所示，几何体中，四边形为菱形，平面，，，，，平面与平面的交线为． （1）证明：直线平面； （2）若直线与平面交于点，求四边形周长的范围． （1）证明：如图，连接与交于点， 由条件可知且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面与平面的交线为，所以， 因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 又因为， 所以平面， 所以直线平面． （2）解：因为，平面，平面， 所以平面，同理， 因为，所以平面平面， 由平面与平面平行的性质定理可得，同理， 所以四边形为平行四边形， 由题意可知，所以四边形为菱形， 设，，则， 在中，，① 在中，， 因为， 所以，② ①②得，得， 在中，，即，得， 所以， 在中，，， 所以，， 所以菱形的周长的范围为，．