2020-2021学年人教A版高中数学必修第二册专项训练第八章立体几何专题训练（十一）—证明平行、垂直（2）-【新教材】【含答案】.doc

立体几何专题训练（十一）—证明平行、垂直（2） 1．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 2．在如图所示的多面体中，是正方形，，，，四点共面，面． （1）求证：面； （2）若，，，求证：平面． 3．如图所示多面体中，平面，，，，，． （1）求证：； （2）在上求作点，使平面，请写出作法并说明理由． 4．如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点满足，且平面，求的值． 5．如图1，，是以为直径的圆上两点，且，，将所在的半圆沿直径折起，使得点在平面上的正投影在线段上，如图2． （1）求证：平面； （2）已知为中点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．已知四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点在上，平面． （1）求证：平面； （2）若，在线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由． 立体几何专题训练（十一）—证明平行、垂直（2） 1．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 证明：（1）取中点，连接，， 在三棱柱中，为的中点． ，，四边形是平行四边形，， ，平面，平面， ，平面，平面， 平面平面， 平面，平面． （2），为的中点，， 又平面平面，平面平面， 平面， 平面，又平面， ．又，， 面． 2．在如图所示的多面体中，是正方形，，，，四点共面，面． （1）求证：面； （2）若，，，求证：平面． 证明：（1）因为是正方形，所以， 又面，面，所以面， 因为面，，，平面， 所以面面， 又面，所以面． （2）在平面中，作交于点， 因为面，平面，平面平面， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，，， 因为，所以， 所以，所以， 所以，又， ，，平面， 所以平面． 3．如图所示多面体中，平面，，，，，． （1）求证：； （2）在上求作点，使平面，请写出作法并说明理由． 解：（1）证明：取的中点，连接， ，， 又，四边形是平行四边形， 故，，， ，是边长为2的正三角形， ，， ， ，即， 平面，，平面， ，， 又，所以，， 又，，平面， 平面，又平面， ， 平面，平面，， 平面，平面， ． （2）设交于点，连接，此时点即为所求作的点． 证明如下：，， 又，四边形是平行四边形， 故，即， 又平面，平面，平面． ，平面，平面，平面． 又平面，平面，， 平面平面， 平面，平面． 4．如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点满足，且平面，求的值． 解：（1）证明：由平面，可得， 又，，可得， 由平面，，可得平面，， 又，，可得， 在中，，，， 可得，即为， 解得， 由，可得， 又，而，为平面内的两条相交直线， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）连接与交于，连接， 由平面，平面，平面平面， 可得， 所以， 在四边形中，，可得， 所以． 5．如图1，，是以为直径的圆上两点，且，，将所在的半圆沿直径折起，使得点在平面上的正投影在线段上，如图2． （1）求证：平面； （2）已知为中点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （1）证明：由图1可知：，， 由图2，为在平面的投影，平面， 面，，， 面，面， ，， 面． （2）解：不存在． 不妨令，则，，，． ，，，面，， 在中，勾股定理可得，， 取中点，中点，分别连，， 为中点，易知，， 面面， 由图易知，线段与面不相交， 线段上不存在点使面． 6．已知四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点在上，平面． （1）求证：平面； （2）若，在线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由． （1）证明：平面，平面， ， 四棱锥的底面为平行四边形， ， ， 平面平面，且平面平面，平面， 平面． （2）解：存在，为上靠近的三等分点， 取上靠近的三等分点为，取上靠近的三等分点为，连接、、； 、分别为、上的三等分点， 且， ，且四棱锥的底面为平行四边形， 且， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面．