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高等数学同济第七版第3章习题解答 PAGE 高等数学同济第七版第3章习题解答 教材习题同步解析 习题3-1 1.验证罗尔定理对函数在区间上的正确性. 证 在上连续，在内可导，且 .故函数在区间上满足罗尔定理的条件. 又解得,取，确实存在使得.因此罗尔定理对函数在区间上正确. 注意 凡是验证定理正确与否的命题,一定要验证两点(1)定理的条件是否满足;(2)若条件满足,求出定理结论中的值. 5.不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间. 解 函数分别在区间上连续，在区间 内可导，且. 由罗尔定理知，至少存在使即方程至少有三个实根.又因为三次方程，故它至多有三个实根. 因此，方程有且只有三个实根，分别位于区间内. 6.证明恒等式: 证 设，则 . 于是 其中c为常数. 因为故 7.若方程有一个正根,证明方程 必有一个小于的正根. 证 设,可见,又依题意,有.并注意到,于是在上满足罗尔定理条件,故存在,使得,即有小于的正根. 8.若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明：在内至少存在一点，使得. 证 由于在上连续，在内可导，且，根据罗尔定理，至少存在一点，使得.同理可证至少存在一点，使得. 又因为在内二阶可导，所以函数在上连续，在内可导，且.再次应用罗尔定理知：至少存在一点，使得. 10. 设证明：. 分析 由于,所以可以构造函数,然 后应用中值定理证明. 证 设,由于在上满足拉格朗日中值定理条件,故存在,使得 . 由于,所以,于是 , 即. 11.证明下列不等式： （1）； （2）当时,. 证 (1)当时，显然成立. 当时，令,则在或上满足拉格朗日中值定理条件,故存在或使得 . 即 ，所以 . (2)设.当时, 在上满足拉格朗日中值定理条件,故存在,使得 . 即.即. 注意 （2）也可利用本章第四节函数的单调性证明. 12. 证明方程只有一个正根. 证 设. 先证根的存在性. 因为在[0,1]上连续,而且,故由零点定理知,至少存在一点,使得. 再证根的唯一性. 假设有两个根,不妨设,由在上连续,内可导.根据罗尔定理, 至少存在一点,使得.而,矛盾. 因此方程只有一个正根. 13. 设在上连续,在内可导,证明:存在,使得 . 分析 欲证结论,只需证 即 证 作辅助函数,则在上满足拉格朗日中值定理,因此存在,使得,即为所证结论. 14. 证明:若函数在内满足关系式,且,则. 分析 欲证,只需证,即证. 证 设,则.由拉格朗日中值定理推论得. 又,得.即. 15.设函数在的某邻域内具有阶导数，且，试用柯西中值定理证明： . 证 由题意在的某邻域内任取,使在处有阶导数,则在以0，为端点的区间上满足柯西中值定理的条件.于是有 在0与x之间）， 在0与之间）， 在0与之间）， 由此作下去,可得 , 在0与之间）. 所以.由于可以表示为,故 . 习题3-2 1.用洛必达法则求下列极限: ； ; ; ; ; ; ; ; ; ; . 解 (2) . (3) . (5) . (6) . 常见错解1 . 错误原因 都是常数，其导数都为零. 常见错解2 . 错误原因 从第三个等号开始出现错误.因为中的分子、分母当时,极限均为非零常数，所以极限不是未定式,不能用洛必达法则. (7) . (8) . 常见错解 因～，～,故 . 错误原因 当时，、都不是无穷小，不能用无穷小的等价代换. 同理，～也是错误的. . (11) . 另解 本题也可使用等价无穷小的代换： . (12) . (13) . (15) 而 ， 所以， 2.验证极限存在，但不能用洛必达法则得出. 解 由于不存在，故不能使用洛必达法则来求此极限，但并不表明此极限不存在，此极限可用以下方法求得： . 小结 用洛必达法则求极限应注意的事项: (1) 运用洛必达法则时,一定要注意条件.当时,极限中含有, 或当时,极限式中含有时,不能用洛必达法则; (2) 每用完一次洛必达法则，要将极限式整理化简,只要满足法则的条件,可以连续使用下去; (3) 为简化运算经常将洛必达法则与等价无穷小替代结合使用; (4) 有时用变量代换可以简化求导运算,从而使洛必达法则更有效. *4.讨论函数在点处的连续性. 解 因为, 而 . 所以,函数在点处连续. 习题3-3 2.应用麦克劳林公式，按的幂展开函数. 解 ,. ,. ,. , . ,. ,. ,,. 故 . 4.求函数按的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 , ……,. 故 . 5.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式. 解 因为,故 , 其中介于x与-1之间. 7.求函