第14讲 旋转图形综合探究-讲义2021-2022学年九年级数学人教版上册（教师版）.docx

第14讲 旋转图形综合探究 考点一 轴对称与中心对称图形 1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 2. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 3. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分 ．关于中心对称的两个图形是全等图形. 4. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号嫌烦，即点关于原点的对称点为. 考点二 以等边三角形为背景的旋转问题 举例： 如图，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC为边向三角形外作等边△ABC，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置. 举例：如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点 举例：已知：如图，P为等边三角形ABC内一点求相应的度数. 考点三 以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题 举例： 举例：如图，在正方形ABCD中，∠EDF=45° 举例：如图，D为等腰直角三角形ABC的斜边BC上一点 【例1】如图1，已知等边△ABC，过点B作BG⊥AC于点G，D为AB上一点，ED∥BC交BG的延长线于点E.如图2，将△BDE绕点B顺时针旋转，取AE的中点M，连接DM，CM，试确定DM与CM的关系. 【解析】 DM⊥MC且MC＝DM.理由如下： 方法一：延长CM至点N，使MN＝MC，连接AN，DN，DC，NE，四边形ACEN为平行四边形，设AC交DE于点O，则∠DEN＝∠EOC，在四边形BDCO中∠BDO＝120°，∠BCO＝60°，故∠DOC＝360°－120°－60°－∠DBC＝180°－∠DBC，故∠DEN＝∠EOC＝∠DBC，又NE＝AC＝BC，BD＝DE.故△BDC≌△EDN.∴DN＝DC，∠NDC＝∠BDE＝120°.∵DM为NC边上的中线，得Rt△DMC，且∠DCM＝30°，故DM⊥MC，MC＝DM； 方法二：延长DM至点P，使MP＝MD，连接AD，PE，AP，DC，则四边形ADEP为平行四边形，同法一有∠PAC＝∠COE＝∠DBC，△ACP≌△BCD；DC＝PC.可得∠DCP＝60°，CM为等边△DCP的边DP的中线，DM⊥MC，MC＝DM； 方法三：延长ED至T，使DT＝DE，连接TA，TB，DC，证△BTA≌△BDC，DC＝TA＝2DM，设∠ATD＝∠MDE＝α，则∠BTA＝60°＋α＝∠BDC，∠MDC＝∠BDE－∠BDC＋∠MDE＝120°－(60°＋α)＋α＝60°，倍长DM至P，△DCP为等边三角形，得证. 【例2】在△ADC中，DA＝DC＝4，∠ADC＝120°. （1）如图1，求AC的长； （2）如图2，M为AC上一动点（M不与点A，C重合），将AM绕点A逆时针旋转60°得AN，连接NC，DM，Q为NC的中点，连接DQ. ①求证：DM＝2DQ； ②当点M在AC上运动时，直接写出AM＋4DQ的最小值为 . 【解析】 （1）AC＝4； （2）①倍长CD至点H，则△AHD为等边三角形，可证△ANH≌△AMD，∴DM＝HN，又点D，点Q分别为CH，CN的中点，故2DQ＝HN＝DM； ②作∠BAC＝30'＝∠DAM.使AB＝AD＝4.连接BM，MN，BH，可证△AMD≌△ABM，BM＝DM＝HN＝2DQ.AM＝AN＝MN，故HN＋MN＋MB＝4DQ＋AM≥HB，在△AHB中，AH＝AB＝4.∠HAB＝120°，△AHB≌△DAC，HB＝AC＝4，故AM＋4DQ≥4，∴AM＋4DQ的最小值为4. 【例3】如图.在△ABC中，∠ACB＝30°. （1）如图1，AB＝AC＝2，求BC的长； （2）如图2，AB＝AC，点P是△ABC内一点，且PA＝2，PB＝，PC＝3.求∠APC的度数； （3）如图3，点P为△ABC内一点，AC＝4，AB＝7（CB＞CA），求PA＋PB＋PC的最小值. 【解析】 （1）取BC的中点D，连接AD，∵AB＝AC＝2，∴AD⊥BC，DB＝DC.又∵∠C＝30°，∴在Rt△ADC中，AD＝AC＝1，BD＝DC＝，∴BC＝2； （2）∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，把△ABP绕点A逆时针旋转120°，使点B落在C点处，点P落在Q点处，∴PA＝QA＝2，PB＝QC＝，又∵∠PAQ＝120°，∴PQ＝2，∴PQ2＋PC2＝QC2，∴∠QPC＝90°，又∵∠APQ＝30°，∴∠APC＝120°； （3）.提示：把△BPC绕点C遂时针旋转60°得到△B′P′C，则∠ACB′＝90°，当A，P，P′，B′共线时，PA＋PB＋PC最小，由AC＝4，AB＝，∠C＝30°，可得BC＝3，则AB′＝. 针对练习 1.已知