第12讲 旋转图形的构造技巧-讲义2021-2022学年九年级数学人教版上册（学生版）.docx

第12讲 旋转图形的构造技巧 知识导航 若两条共顶点的等边(等腰三角形两腰)中，有一条边旁边有三角形时，可以将这个三角形旋转到另一等边处，构造全等三角形. 【板块一】利用角度构造旋转图形的技巧 方法技巧 1.遇等腰直角三角形或垂直且相等的边，常构造旋转90°的全等三角形;遇60°的等腰三角形常构造旋转60°的全等三角形;遇120°的等腰三角形常构造旋转120°的全等三角形; 2线段之间存在特殊的数量关系，如勾股数关系，倍关系，倍关系，结合图中等线段，可以构造旋转的全等三角形 题型一 利用45°或90°的角构造 【例1】如图，∠BAC＝90°，BD＝AE，AB＝CE，将△ABE绕点P逆时针旋转a得到△BFD (1)请在图中画出点P及△BFD; (2)求证:旋转角a＝90 (3)求∠CDF的度数 【例2】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在直线BC上，若∠DAE＝135°，BC＝CE，求的值 题型二 利用60°或120°的角构造 【例3】如图，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内部，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC 的面积 【例4】如图，在△ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，AB＝1，将边AC绕着点A逆时针旋转120°，得到 AD，连接BD，求BD的长 题型三 利用中点旋转构造 【例5】如图，∠BAC＝α，∠EDC＝180°－α，AB＝AC，DC＝DE，P为BE的中点 (1)如图1，点A，C，D共线，求∠PAC的大小(用含α的式子表示); (2)如图2，点A，C，D不共线，求证:AP⊥DP 【例6】已知四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形 (1)如图1，点E，G分别在AB，AD上，连接CF，点H为CF的中点，EH与DH的位置关系是______，数量关系是_________ (2)如图2在图1的基础上，把正方形AEFG绕点A顺时针旋转角度a(a为锐角)，(1)中结论是否仍成立?若成立，请证明;若不成立，请说明理由 题型四 利用互补的角构造 【例7】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，边BC绕点B顺时针旋转120得到BE，边DC绕点D逆时针旋转120°得到DF，四边形ABEG和四边形ADFH均为平行四边形 (1)如图1，若BC＝CD，∠BCD＝120°，则∠GCH的度数为________ (2)如图2，若BC≠CD，探究∠GCH的大小是否发生变化，并证明你的结论 【例8】给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形 (1)以下四边形中，是勾股四边形的为__________（填写序号即可） ①矩形;②有一个角为直角的任意凸四边形;③有一个角为60°的菱形 (2)如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n得到△EDC ①n＝60，∠BAD＝30°时，连接AD，求证:四边形ABCD是勾股四边形 ②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝ (180－n)°，CP＝4，AE＝10，求AC的长度， 针对练习1 1.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC，若AC＝6，求四边形ABCD的面积. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°， 若BD＝2CE，求DE的长. 3.△ABC和△AEF都为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AEF＝90°，连接EC，BF，点D为BF的中点， 连接CD. （1）如图1，当点E落在AB边上时，请判断线段EC与DC的数量关系，并证明你的结论； （2）将△AEF绕点A顺时针旋转n°(n＜180)，如图2，请判断线段EC与DC的数量关系，并证明你的结论. 4.在正方形ABCD中，将CD绕着D点逆时针旋转角度(0°＜＜180°)到DE，连接AE. （1）求∠AEC的度数； （2）取线段AE的中点O，将BO绕点O逆时针旋转90°到OF，连接CF，BF，求证：CF∥AE. 【板块二】利用线段关系构造旋转图形的技巧 题型一 垂直线段的运用技巧 【例1】如图1，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AE＝DE＝a，AB＝CB＝b（a＜b）， 点D在AC上，且AD＝2CD. （1）求的值； （2）把图1中的△ADE绕点A顺时针旋转角度(0＜＜ 90°)，如图2，连接BE，CD，BE＝， 求五边形ABCDE的面积； 【例2】如图，在△ABC中，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD.∠ABC＝，∠ACD＝，BC＝4，BD＝6.若改变，的大小，且满足，求△ABC的面积. 题型二 线段与角度的组合技巧 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC