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备战中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含答案解析
一、锐角三角函数
1.某地是国家AAAA级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD,想法测出了尾部C看头顶B的仰角为,从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好,,.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是.于是,他们很快就算出了AB的长.你也算算?(结果精确到.参考数据:.)
【答案】AB的长约为.
【解析】
【分析】
作于F,根据正弦的定义求出BF,利用余弦的定义求出CF,利用正切的定义求出DE,结合图形计算即可.
【详解】
解:作于F,
在中,,
,
在E中,,
由勾股定理得,,
答:AB的长约为.
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
2.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C⊥OA于点C,O'C=12cm.
(1)求∠CAO'的度数.
(2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少?
(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转多少度?
【答案】(1)∠CAO′=30°;(2)(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
【解析】
试题分析:(1)通过解直角三角形即可得到结果;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12,由C、O′、B′三点共线可得结果;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
试题解析:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,
∴sin∠CAO′=,
∴∠CAO′=30°;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,∵sin∠BOD=,∴BD=OBsin∠BOD,∵∠AOB=120°,∴∠BOD=60°,∴BD=OBsin∠BOD=24×=12,∵O′C⊥OA,∠CAO′=30°,
∴∠AO′C=60°,∵∠AO′B′=120°,∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12,
∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36﹣12)cm;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,
理由:∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°,
∴∠EO′F=120°,
∴∠FO′A=∠CAO′=30°,
∵∠AO′B′=120°,
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°,
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
考点:解直角三角形的应用;旋转的性质.
3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.
(1)求证:KE=GE;
(2)若KG2=KD?GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AC∥EF,证明见解析;(3)FG= .
【解析】
试题分析:(1)如图1,连接OG.根据切线性质及CD⊥AB,可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE,根据等角对等边得到KE=GE;
(2)AC与EF平行,理由为:如图2所示,连接GD,由∠KGE=∠GKE,及KG2=KD?GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD,可推知∠E=∠C,从而得到AC∥EF;
(3)如图3所示,连接OG,OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt△OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度.
试题解析:(1)如图1,连接OG.
∵EG为切线,
∴∠KGE+∠OGA=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
又∵OA=OG,
∴∠OGA=∠OAG,
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE,
∴KE=GE.
(2)AC∥EF,理由为连接GD,如图2所示.
∵KG2=KD?GE,即 ,
∴ ,
又∵∠KGE=∠GKE,
∴△GKD∽△EGK,
∴∠E=∠AGD,
又∵∠C=∠AGD,
∴∠
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