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2023中考数学专题复习分类练习 初中数学 旋转综合解答题及答案解析 一、旋转 1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。 （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。 【答案】（1）（2）见解析（3） 【解析】解：（1）。 （2）△ABE为等边三角形。证明如下： 连接AD，CD，ED， ∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD， ∴BC=BD，∠DBC=60°。 又∵∠ABE=60°， ∴且△BCD为等边三角形。 在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，AD=AD，BD=CD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）。∴。 ∵∠BCE=150°，∴。∴。 在△ABD和△EBC中，∵，，BC=BD， ∴△ABD≌△EBC（AAS）。∴AB=BE。 ∴△ABE为等边三角形。 （3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴。 又∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形。 ∴DC=CE=BC。 ∵∠BCE=150°，∴。 而。∴。 （1）∵AB=AC，∠BAC=，∴ 。 ∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴。 ∴。 （2）由SSS证明△ABD≌△ACD，由AAS证明△ABD≌△EBC，即可根据有一个角等于的等腰三角 形是等边三角形的判定得出结论。 （3）通过证明△DCE为等腰直角三角形得出，由（1），从 而，解之即可。 2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H． ①求证△ADB≌△AOB； ②求点H的坐标． （3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（，3）；（3）≤S≤． 【解析】 【分析】 （1）如图①，在Rt△ACD中求出CD即可解决问题； （2）①根据HL证明即可； ②，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，根据AH2=HC2+AC2，构建方程求出m即可解决问题； （3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题； 【详解】 （1）如图①中， ∵A（5，0），B（0，3）， ∴OA=5，OB=3， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°， ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， ∴AD=AO=5， 在Rt△ADC中，CD==4， ∴BD=BC-CD=1， ∴D（1，3）． （2）①如图②中， 由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°， ∵点D在线段BE上， ∴∠ADB=90°， 由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°， ∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）． ②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO， 又在矩形AOBC中，OA∥BC， ∴∠CBA=∠OAB， ∴∠BAD=∠CBA， ∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m， 在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2， ∴m2=32+（5-m）2， ∴m=， ∴BH=， ∴H（，3）． （3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=?DE?DK=×3×（5-）=， 当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=×D′E′×KD′=×3×（5+）=． 综上所述，≤S≤． 【点睛】 本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 3．(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空： 当点A位于　 　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　 　(用含a，b的式子表示) (2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE． ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值． (3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(6，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2