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分形技术—移动平均 Hurst 指数计算 Hurst 指数是分形技术在金融量化分析中的典型应用。分形是以非整数维形式充填空间的形态特征。分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。 1973 年， 曼德勃罗 （B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal） 一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以 非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几 何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由 于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。 1 Hurst 指数简介 基于重标极差(R/S) 分析方法基础上的赫斯特指数 (H) 研究是由英国水文专家H．E．Hurst(1900—1978)在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关系时，发现用有偏的随 机游走(分形布朗运动)能够更好地描述水库的长期存贮能力，并在此基础上提出了用重标极 差(R/S)分析方法来建立赫斯特指数(H)，作为判断时间序列数据遵从随机游走还是有偏的随机游走过程的指标。 赫斯特指数有三种形式： 如果 H=0.5，表明时间序列可以用随机游走来描述； 如果 0.5<H≤1，表明黑噪声(持续性)即暗示长期记忆的时间序列； 如果 0≤H<0.5，表明粉红噪声(反持续性)即均值回复过程。 也就是说，只要 H ≠0.5，就可以用有偏的布朗运动(分形布朗运动)来描述该时间序列数据。 Mandelbrot 在 1972 年首次将 R/S 分析应用于美国证券市场，分析股票收益的变化， Peters 把这种方法作为其分形市场假说最重要的研究工具进行了详细的讨论和发展，并做了很多实证研究。经典的金融理论一般认为股票市场是有效的，已有的信息已经充分在股价上 得到了反映，无法帮助预测未来走势，下一时刻的变动独立于历史价格变动。因此股市变化 没有记忆。实际上中国股市并非完全有效，在一定程度上表现出长期记忆性（ Long TermMemory）。中国股市的牛熊交替（2001-2008），伴随着对股市趋势的记忆的加强和减 弱的轮换分形理论中的重标极差法导出的Hurst 指数可以反映股市的长期记忆性的强弱。用移动时间区间的 Hurst 指数来对照股指的变化，可以分析 Hurst 指数的高低与市场指数走势的关系。赫斯特指数预测股票市值走势的三种形式： 如果 H=0.5，表明时间序列可以用随机游走来描述：即股市未来方向（上涨、或者下跌）无法确定，市场处于震荡行情中。 如果 0.5<H≤1，表明黑噪声(持续性)即暗示长期记忆的时间序列：即股市将保持原有方向，若时间周期序列长度为 120，当最近半年市场上涨（横盘，下跌）， 则市场很可能将继续上涨（横盘，下跌），H 值越大市场保持原有趋势的惯性越大。 如果 0≤H<0.5，表明粉红噪声(反持续性)即均值回复过程：即股市将改变原有方向，若时间周期序列长度为 120，当最近半年市场上涨（横盘，下跌）， 则市场很可能将继续下跌或者横盘（上涨或下跌、横盘或上涨），H 值越小市场改变原有趋势的可能性越大。 中国的证券市场随着金融产品丰富、监管效率的提高，未来的中国证券市场的有效性将越来越高。 2 R/S 方法计算 Hurst 指数 tR/S 分析方法的基本内容是：对于一个时间序列(例如指数的价格序列){x } ，把它分为 t A 个长度为 n 的等长子区间，对于每一个子区间，比如第a 个子区间（ a =1,2,…,A），若时间序列长度为 240，A=[4,6,……]，n=[60,40,……]等 。假设： X t ,a ? ?t u ?1 (x u ,a ? M ), t ? 1,2, , n a 其中，M a 令极差 为第 a 个区间内 x u ,a 的平均值。X  t ,a 为第 a 个区间内第t 个元素的累计离差， R ? max(X a  t ,a ) ? min(X ) t ,a 若以S a 表示第 a 个区间的样本标准差，则可定义重标极差R a / S ， 把所 个这样的重 Aa A 标极差平均计算得到均值：  (R / S ) n  ? 1 ?A R / S A a a a?1 n而子区间长度 是可变的，不同的分段情况对应这不同的(R / S ) n n 河水文数据长时间的实践总结，建立了如下关系： (R / S ) ? KnH n ，Hurst 通过对尼罗 其中 K 为常数，H 即为相应的 Hurst 指数。将上式两边取对数得到 log((R / S ) n ) ? log(K ) ? H log(n) n因此对log( n) 和log((R / S)