1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积.docxVIP

青幸教育—专注中学教育 PAGE PAGE 1 1.3　空间几何体的表面积与体积 1．3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积 [学习目标] 1．通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法． 2．了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． [知识链接] 1．棱柱的侧面形状是平行四边形；棱锥的侧面是三角形；棱台的侧面形状是梯形． 2．圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆． 3．三角形的面积S＝eq \f(1,2)ah(其中a为底，h为高)，圆的面积S＝πr2(其中r为半径)，扇形的面积公式S＝eq \f(1,2)lr(l为扇形的弧长，r为扇形的半径)． 4．长方体的体积V＝abc(其中a，b，c为长、宽、高)． [预习导引] 1．多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积． 2．旋转体的表面积 名称 图形 公式 圆柱 底面积：S底＝2πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积： S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 3．体积公式 (1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. (2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq \f(1,3)Sh. (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点一　空间几何体的表面积 例1　如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积． 解　以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC＝eq \r(52＋?16－4?2)＝13(cm)． ∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)． 规律方法　1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键． 2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解． 跟踪演练1　(2014·泸州高一检测)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积． 解　先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D. 因为BC＝a，SD＝eq \r(SB2－BD2)＝eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq \f(\r(3),2)a. 所以S△SBC＝eq \f(1,2)BC·SD ＝eq \f(1,2)a×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),4)a2. 因此，四面体S－ABC的表面积S＝4×eq \f(\r(3),4)a2＝eq \r(3)a2. 要点二　空间几何体的体积 例2　三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比． 解　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S. ∴VA1－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)Sh， VC－A1B1C1＝eq \f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq \f(4,3)Sh. 又V台＝eq \f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq \f(7,3)Sh， ∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1 ＝eq \f(7,3)Sh－eq \f(Sh,3)－eq \f(4Sh,3)＝eq \f(2,3)Sh， ∴体积比为1∶2∶4. 规律方法　求几何体体积的常用方法 跟踪演练2　如图所示的三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且PB＝1，PA＝eq \r(3)，PC＝eq \r(6)，求其体积．(一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直) 解　由题意知PA⊥PB，PA⊥PC， PB∩PC＝P，所以PA垂直平面PBC. 所以PA是三棱锥A－PBC的底面PBC上的高， 且S△PBC＝eq \f(1,2)·PB·PC＝eq \f(\r(6),2)， ∴V三棱锥P－ABC＝V三棱锥A－PBC ＝eq \f(1,3)·PA·S△PBC ＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \f(\r(6),2) ＝eq \f(\r(2),2)，即三棱锥P－ABC的体积