二项式定理(测试卷含答案).docx

. . 学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题． n n n n n n n n 二项式定理二项式系数 公式(a＋b)n＝C0an＋C1an－1b＋…＋Ckan－kbk＋…＋Cnbn，称为二项式定理Ck(k＝0,1，…，n) n通项 T ＝Ckan－kbk(k＝0,1，…n) n k＋1 n 二项式定理 (1＋x)n＝C0＋C1x＋C2x2＋…＋Ckxk＋…＋Cnxn 的特例 n n n n n 二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) 对称性：Cm＝Cn－m； n n 性质：Ck ＝Ck－1＋Ck； n＋1 n n n 二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C2 最大；当n 是奇数 n 2时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即Cn?1 2 n n?1 2 ? ? C 最大； 二项式系数之和：C0＋C1＋C2＋…＋Cr ＋…＋Cn＝2n，所用方法是赋值法． n n n n n 类型一二项式定理的灵活应用 命题角度1两个二项式积的问题 例 1(1)在(1＋x)6(1＋y)4 的展开式中，记 xmyn 项的系数为 f(m，n)，那么 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋ f(0,3)＝ . . v . .. . . .v. . v . (2)(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中x2 的系数为 5，那么a＝ . 答案(1)120(2)－1 解析(1)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) ＝C3C0＋C2C1＋C1C2＋C0C3＝120. 6 4 6 4 6 4 6 4 (2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5. ∴x2 的系数为C2＋aC1， 5 5 那么 10＋5a＝5，解得a＝－1. 反思与感悟两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进展分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成局部． (3)分别求解再相乘，求和即得． x a x 1 5 跟踪训练 1( ＋x)(2 －x) 的展开式中各项系数的和为2，那么该展开式的常数项为() A．－40B．－20C．20D．40 答案D 解析令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1， x 1 x 1 x 1 1 x 故( ＋x)(2 －x)5 的展开式中常数项即为(2 －x)5 的展开式中x与 的系数之和． x 1 5 T ＝Ck25－kx5－2k(－1)k， (2 －x) 的展开式的通项为 k＋1 5 令 5－2k＝1，得k＝2， ∴展开式中x 的系数为C2×25－2×(－1)2＝80， 5 令 5－2k＝－1，得k＝3， 1 ∴展开式中 的系数为C3×25－3×(－1)3＝－40， x 5 x 1 x 1 ∴( ＋x)(2 －x)5 的展开式中常数项为 80－40＝40. 命题角度2三项展开式问题 命题角度2三项展开式问题 ?x 1 ? 例 2?2＋x＋ 2?5 的展开式中的常数项是 ． 63 22? 63 2 2 答案 ??x 1? ? 解析方法一原式＝??2＋x?＋ 2?5， ?? ? ? ?x 1? 1 2k1＋15 ??111∴展开式的通项为T ＝ Ck ? ＋x? 5 1 2 k1＋1 5 ? ? 1 1 1 ( 2) k (k ＝0,1,2，…，5)． 当 k ＝5 时，T ＝( 2)5＝4 2， 1 6 ?x 1? ?x? ?1? ?1? 当 0≤k <5 时 ，?2＋x? 5－k 的展开式的通项公式为T ? ＝ Ck ?2? 5－k －k ?x? k ＝Ck ?2? ? ? 2 5? 1 ? ? ? ? 5? 1 ? ? 5－k －k 1 · x 5－k －2k 1 (k ＝0,1,2，…，5－k )． 2 k ＋1 k 1 2 2 2 k 1 2 1 2 2 1 令 5－k －2k ＝0，即 k ＋2k ＝5. 1 2 1 2 ∵0≤k <5 且 k ∈Z， 1 1 ?k ＝1， ?k ＝3， ∴? 1 或 ? 1 ?k ＝2 ?k ＝1. 2 2 12? ? 2＋C3C1×( 2)∴常数项为 4 2＋C C ?1 1 2? ? 2＋C3C1 ×( 2) 5 4?2? 5 22 15 2 63 2 ＝4 2＋ 2 ＋20 2＝ 2 . ?x2＋2 2x＋2?5＝ 1 ·[(x＋ 2)2]5 方法二原式＝? 2x ? 32x5 ? ? ＝ 1 ·(x＋ 2)10. 32x5 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋ 2)10 的展开式中含x5 项的系数，即C5 ·( 2)5. 10 C5 ·( 2)5 63 2 ∴所求的