第5讲 立体几何选择压轴题（解析版）.docx

第5讲 立体几何选择压轴题 一、单选题 1．（浙江超级全能生3月联考）如图，已知在中，为线段上一点，沿将翻转至，若点在平面内的射影恰好落在线段上，则二面角的正切的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过作交BC于E，连接EH，结合已知条件有二面角的平面角为，而，设且，则，即可求，，应用函数与方程思想，构造且在上有解求参数m的范围，即可得二面角正切的最大值． 【解析】 过作交BC于E，连接EH， ∵在平面内的射影恰好落在线段上，即面， ∴且，，即面， 面，则， ∴二面角的平面角为， 在中，，若令，则，又， ∴，且， 故，则，即方程在上有解时，m的最大值即为所求， 而开口向上且，即，对称轴． ∴当时，，显然成立； 当时，当对称轴在上，恒成立；当对称轴在上，，即； ∴综上，有，即，故二面角的正切的最大值为． 故选C． 【点睛】关键点点睛：利用三垂线定理找到二面角的平面角，进而根据线段关系、勾股定理求，，由，结合函数与方程的思想求参数m范围，进而确定最大值． 2．（浙江宁波模拟）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算．解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小．而充分利用图形特征，则可事倍功半． 【解析】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B． 方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然） 由最大角定理，故选B． 方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得 ，故选B． 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角．未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法． 3．（湖南长沙市·长沙一中高三月考）在三棱锥中，，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角的平面角为；根据题意可知当，时，三棱锥的体积最大．根据体积的最大值可求得BC的长，结合图形即可求得球的半径，进而求得表面积． 【解析】如图，设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为， 则二面角的平面角为，点在截面圆上运动，点在截面圆上运动， 由图知，当，时，三棱锥的体积最大，此时与是等边三角形， 设，则，，， ，解得，所以， ，，设，则，解得， ∴，球的半径，所求外接球的表面积为，故选B． 【点睛】本题考查了三棱锥外接球的综合应用，根据空间几何关系求得球的半径，进而求得表面积，对空间想象能力要求较高，属于难题． 4．（天一大联考（理））在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，点在所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为、，长轴长为，然后以线段的中点为坐标原点，直线所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得的最大值． 【解析】如图所示，在平面内，，所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系， 则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为， 所以，椭圆方程为． 点在底面的投影设为点，则点为的中心，， 故点正好为椭圆短轴的一个端点，，则， 因为，故只需计算的最大值． 设，则， 则，当时，取最大值，即，因此可得，故的最大值为．故选B． 【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用． 5．（四川成都市·高三二模（理））已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论： ①线段的长度为1； ②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线； ③的余弦值的取值范围为； ④周长的最小值为． 其中正确结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将正四面体放在正方体中观察，对于①，可根据分别为正方体前后两个面的中心可得出结论； 对于②，取为的中点，取为的中点，此时与相交；对于③，计算可得，由逼近思想可作出判断；对于④，空间问题平面化的技巧，将三角形与放在同一平面上，可计算出． 【解析】 在棱长为的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为四面体， 显然，分别为正方体前后两个面的中心，故线段的长度为正方体棱长，故 ①对；