圆的问题重难点考点真题(word答案).pdf

专题 圆的问题 专题知识回顾 一、与圆有关的概念与规律 1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半 径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性； （2）圆具有轴对称性； （3）圆具有中心对称性。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也 相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也 相等。 7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。 8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 10. 点和圆的位置关系：  ① 点在圆内 点到圆心的距离小于半径  ② 点在圆上 点到圆心的距离等于半径  ③ 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距 离相等。 13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接 圆。 14．圆内接四边形的特征： ①圆内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 15.直线与圆有 3种位置关系： l 如果⊙O 的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那 ① 直线 和⊙O相交l  d r； ② 直线 和⊙O相切l  d r； l  d r ③ 直线 和⊙O相离 。 16.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角 平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。 17.切线的性质 （1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 （3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 18.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 19.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。 O r O r d |OO | 20．设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，两个圆的圆心距 ，则： 1 1 2 2 1 2 两圆外离 d rr ； 1 2 两圆外切 d rr ； 1 2 两圆相交 |rr |drr ； 1 2 1 2 两圆内切 d |rr |； 1 2 两圆内含 d|rr | 1 2 21.圆中几个关键元素之间的相互转化 弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 22.与圆有关的公式 设圆的周长为r，则： （1）求圆的直径公式d=2r （2）求圆的周长公式 C=2 πr （3）求圆的面积公式S= πr2 二、解题要领 1.判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有 时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平 分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：