概率论与数理统计：CH3 第三章 多维随机变量及其分布.ppt

有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布. 即 更一般地, 可以证明: 若 相互独立，则 * 二、Z=Y\X, Z=XY的分布 设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=Y\X的密 度函数为 当 X, Y 独立时, * 解 例6 * * 三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数. FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为: =P(X≤z)P(Y≤z) FM(z) 1. M = max(X,Y) 的分布函数 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) * 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] =1-P(X>z,Y>z) FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z) 2. N = min(X,Y) 的分布函数 由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为: =1- P(X>z)P(Y>z) FN(z) * 设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 我们来求 M=max(X1,…,Xn) 和N=min(X1,…,Xn)的分布函数. (i = 1, …, n) 用与二维时完全类似的方法，可得 N=min(X1,…,Xn)的分布函数是 M=max(X1,…,Xn)的分布函数为: * 特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有 * 例7 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用 (当系统 损坏时, 系统 开始工作) , 如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为 其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度. X Y X Y X Y * X Y 解 (i) 串联的情况 由于当系统 中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作, 所以此时 L 的寿命为 因为 X 的概率密度为 所以 X 的分布函数为 * 当 x > 0 时 , 当 x 0 时 , 故 类似地 , 可求得 Y 的分布函数为 * 于是 的分布函数为 = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] 的概率密度为 * X Y (ii) 并联的情况 由于当且仅当系统 都损坏时, 系统 L 才停止工作, 所以此时 L 的寿命为 故 的分布函数为 * X Y 于是 的概率密度为 (iii) 备用的情况 因此整个系统 L 的寿命为 由于当系统 损坏时, 系统 才开始工作, * 当 z 0 时 , 当 z > 0 时 , 当且仅当 即 时, 上述积分的被积函数不等于零. 故 * 于是 的概率密度为 * 例8 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为 于是 解 * * 需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称 M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn) 为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值. * 1.设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). * 三、课堂练习 2.设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 0 1 0 0.4