数学建模：第3讲排队论课件.ppt

排队论 排队论（随机服务系统理论，是研究系统拥挤现象和排队现象的学科） 排队论的应用范围： 工业上：原材料的供应，产品的销售，多机床的看管，工具收发，仓库管理等 服务行业，食堂，商店，修配服务网点，银行，邮局等合理地确定规模。 军事上，组织武器和军事基地的分布，新武器的研制等。“顾客----攻击目标”，“服务----向目标开火”，“服务完毕----击落目标”。 排队论的特性与共性 排队系统：为了获得服务而到达的顾客，若不能立即获得而又允许排队等候的话，就加入等候队伍，并在获得服务之后离开系统。因顾客来的时间和受服务时间是不确定的，所以它是个随机服务系统。包括顾客输入，排队和服务三个过程。 输入过程： 在输入流中，应用最广泛、最易处理的是最简单流。 ⑴定长输入：顾客有规则地按等距时间到达,每隔a时间到达一个。设顾客相继到达时间间隔为t，它的分布函数记为 如产品通过传送带进入包装箱。 ⑵最简单流（泊松Poisson流） 令N(t)表示0到t时刻顾客到达的总数，它满足以下四个条件： 平稳性：在区间(a,a+t)内有k个顾客到来的概率Vk(t)与a无关，只与t,k有关。 无后效性（独立性）：在区间内有个顾客到来的概率与时刻a以前的情况无关。 普通性：在同一时间瞬间内不可能有两个顾客同时到达。 有限性：任意有限区间内到达有限个顾客的概率为1。因而 对这样的最简单流，长为t的时间内到达k个顾客的概率Vk(t)服从泊松分布， 即 式中 为一常数，叫平均到达率。 2,排队规则：指“顾客”按怎样的规定次序接受服务 根据有没有排队与等待，分三种情况： ⑴损失制：当一个顾客到时，若所有服务机构被占用，该顾客就自动消失，永不再来。如敌机经过防空系统时没被击落，就消失了。 ⑵等待制：当顾客到达时，若所有服务机构被占用，顾客就排队等候服务。 先到先服务。 后到先服务。存入仓库的东西，常常后放先取。 随机服务。多个服务台时。 优先权服务。 强占服务。救火车，救护车，长途电话的抢线通话。 ⑶混合制：是损失制与等待制的混合。 对长度有限制的情况。 等待时间有限制的情况。 顾客在系统中逗留时间有限制的情况。 服务机构是在指同一时刻内有多少服务设备可接纳顾客，对每一顾客服务了多少时间。 假设服务时间具有指数分布，则对各个顾客的服务时间是相互独立的，且具有相同的指数分布，即 式中 为一常数，表示单位时间内平均的被服务人数，即平均服务率。 由公式（4）得平均工作的人数： 可见服务员的利用率2.2/3=0.733,说明 利用率高， 又有35%的损失率，所以有条件的话，可以添加服务员。 (2)等待制系统 设有n台服务设备，m个顾客，顾客流为最简单流， 服务时间为指数分布。 已推出以下结论： ①当m<n时，有k台设备被占用的概率： （5） ②m>n时，有k台设备占用的概率： ③全部设备都空闲的概率： （6） （7） ④平均对长： （8） ⑤空闲设备台数的数学期望： （9） ⑥服务设备利用率: 例1。 关于多机床看管问题，顾客就是故障机床，服务是调整机床，设顾客流是最简单流，服务时间具有负指数分布，试比较两种组织方式的优劣： ①一个工人看管6台机床； ②三个工人联合看管20台机床。 已知机床每小时平均停机一次，即 =1次/时， 调整一台机床的平均时间是6分钟，即服务率 =10台/时。 (M3是设备空闲数的均值） （也就是等待服务的数量） * 泊松定理 设随机变量Xn~B(n, p), (n＝0, 1, 且n很大，p很小，记?=np，则 2,…), 3 泊松(Poisson)分布P(?) 注: 1.) X～P{X＝k}＝ 设随机变量X所有可能的取值为0,1,2,…… 而取各值的概率为: k＝0, 1, 2, … (??0) 定义: 泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数?=np的泊松分布 泊松分布的应用较广. 例如:①在一定时间间隔内某电话交换台收 的呼唤次数. ②一天内到某商店去的顾客数. 到用户 ③一定时间内某放射性物质放射的质点数. ④某医院在一天内的急诊病人数. 例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标 的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有 两弹击中目标的概率. 方法二.用泊松定理作近似计算, 例