概率论与数理统计：CH5 第五章 大数定律与中心极限定理 .ppt

例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? * 用X表示在某时刻工作着的车床数， 解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6,共进行200次独立重复试验. 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： P(X≤N)≥0.999 的最小的N. 求满足 设需N台车床工作， （由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.） * 由德莫佛-拉普拉斯极限定理 近似N(0,1), 于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N) 这里 np=120, np(1-p)=48 由3σ准则， 此项为0。 查正态分布函数表得 * 从中解得N≥141.5, 即所求N=142. 也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产. ≥ 3.1, 故 例3 * 解 * * * 例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 三、课堂练习 * 由题给条件知，诸Xi独立， 16只元件的寿命的总和为 且E(Xi)=100, D(Xi)=10000 依题意，所求为P(Y>1920). 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 例1解答： E(Y)=1600, D(Y)=160000 由中心极限定理, 近似N(0,1) P(Y>1920)=1-P(Y?1920) =1-?(0.8) ?1- =1-0.7881=0.2119 * 例2 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码. 设 ，k=1,2, … 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09- 0.11之间的概率至少是0.95? (2)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率. * （1)解：设应取球n次，0出现频率为 由中心极限定理 例2解答： * 欲使 即 查表得 从中解得 即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95. * （2）解：在100次抽取中, 数码“0”出现次数为 由中心极限定理, 即 其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09 * 即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间 的概率为0.6826. =0.6826 * * 作业 第五章 习题 第126页 第1,13题 * 概率论与数理统计 概率论与数理统计 第五章 大数定理与中心极限定理 弱大数定律 (辛钦大数定律) 依概率收敛定义及性质 贝努利大数定律 第一节 大数定律 * 设随机变量序列X1,X2, … 相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， D(Xk)=s2(k=1,2,...),则对于任意正数ε ，有 定理1（辛钦大数定律） 辛钦 一、弱大数定理（辛钦大数定律） * * 证 由于 由契比雪夫不等式可得 * 在上式中令n??, 并注意到概率不能大于1, 即得 * E(X1)=E(X2)=...=E(Xn)=m. 这种接近是概率意义下的接近. 通俗地说, 在定理的条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时将几乎变成一个常数. 例 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码. 设 ，k=1,2, … 问对序列{Xk}能否应用大数定律？ 即对任意的ε>0, 解: k=1,2, … E(Xk)=0.1, 诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律. * 二、依概率收敛定义及性质 定义 性质 * 定理1的另一种叙述: 依概率收敛于 。即 设随机变量序列X1,X2, … 相互独立，服从同 一分布，具有数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则序列 * 设 nA 是n次独立重复试验中事件A发 生的次数，p是事件A在每次试验中发生 的概率，则对于任意正数ε> 0 ，有 定理2（贝努里大数定律） 或 伯努利 证明 * 证毕 注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏