线性代数行列式完整版 (2).ppt

* 解 (3) 返 回 箭形行列式 第55页，共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第56页，共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第57页，共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第58页，共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第59页，共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第60页，共112页。 例9 证明 * 证 第61页，共112页。 证 * 第62页，共112页。 * 2.证明 1.计算行列式 思考练习 （行列式的性质） 第63页，共112页。 * 思考练习（行列式性质答案） 第64页，共112页。 * =右边 思考练习（行列式性质答案） 第65页，共112页。 第1.3 节 行列式按行（列）展开 * 1.行列式按一行（列）展开 余子式与代数余子式 在n阶行列式 中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij； 而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式. 返 回 返回 第66页，共112页。 例1 求出行列式 * 解 第67页，共112页。 * 引例： 第68页，共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第69页，共112页。 定理1.4 行列式按一行（列）展开定理 * n阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 第70页，共112页。 证 * (i)D的第一行只有元素a11?0，其余元素均为零,即 而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故D= a11A11 ; 第71页，共112页。 * (ii)当D的第i行只有元素aij?0时，即 将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行 D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列 经(i-1)+(j-1)= i+j-2次对调后, aij 位于第1行、第1列,即 (iii) 一般地 由 (i) 第72页，共112页。 * 由(ii) 第73页，共112页。 定理1.5 n阶行列式 * 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即 第74页，共112页。 证 * 考虑辅助行列式 0= t列 j列 第75页，共112页。 例2 计算行列式 * 解 法1 法2 选取“0”多 的行或列 第76页，共112页。 * 阜阳师范学院数学与计算科学学院 第77页，共112页。 * 注： 第78页，共112页。 例4 讨论当 为何值时， * 解 所以当论 ， 第79页，共112页。 方法2 * n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列 x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构 成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和 为 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n) 此即 第23页，共112页。 （二）n阶行列式定义 * 分析： (i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的 乘积构成，除符号外可写为 (ii)符号为 “+” 123 231 312 （偶排列） “-” 321 213 132 （奇排列） (iii)项数为 3！=6 第24页，共112页。 推广之，有如下n 阶行列式定义 第25页，共112页。 * 定义： 是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 并冠以符号 的项的和. (i) 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积； (ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 构成的n！个排列求和. 第26页，共112页。 例1 证明下三角行列式 * 证： 由定义 和式中,只有当 所以 下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 . 第27页，共112页。 第28页，共112页。 例2 计算 * 解 由行列式定义, 和式中仅当 第29页，共112页。 注： 第30页，共112页。 例3 用行列式的定义来计算行列式 解 设 练习： 第31页，共112页。 例4 　应为何值， 符号是什么？ 此时该项的 解 此时 或 (1) 若 则 取负号． (2) 若 则 取正号． 若 是五阶行列式 的一项，则 第32页，共11