线性代数第一行列式.ppt

第95页，共177页。 由于 所以 故 第96页，共177页。 1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的. 2、 阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定. 三、小结 第97页，共177页。 思考题 已知 第98页，共177页。 思考题解答 解 含 的项有两项,即 对应于 第99页，共177页。 第100页，共177页。 第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质 §6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则 第101页，共177页。 一、对换的定义 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 第102页，共177页。 二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 第103页，共177页。 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 第104页，共177页。 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 第105页，共177页。 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 定理2 阶行列式也可定义为 其中 为行标排列 的逆序数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 证明 按行列式定义有 第106页，共177页。 记 对于D中任意一项 总有且仅有 中的某一项 与之对应并相等; 反之, 对于 中任意一项 也总有且仅有D中的某一项 与之对应并相等, 于是D与 中的项可以一一对应并相等, 从而 第107页，共177页。 定理3 阶行列式也可定义为 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 例1 试判断 和 是否都是六阶行列式中的项. 解 下标的逆序数为 所以 是六阶行列式中的项. 第108页，共177页。 下标的逆序数为 所以 不是六阶行列式中的项. 第109页，共177页。 例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. 解 431265的逆序数为 所以 前边应带正号. 第110页，共177页。 行标排列341562的逆序数为 列标排列234165的逆序数为 所以 前边应带正号. 第111页，共177页。 例3 用行列式的定义计算 第112页，共177页。 解 第113页，共177页。 1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 2.行列式的三种表示方法 三、小结 第114页，共177页。 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 第115页，共177页。 思考题 证明 在全部 阶排列中 ,奇偶排列各占一半. 第116页，共177页。 思考题解答 证 设在全部 阶排列中有 个奇排列, 个偶排列,现来证 . 将 个奇排列的前两个数对换,则这 个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以 若将 个偶排列的前两个数对换, 则这 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 故必有 第117页，共177页。 行列式的定义 排列的逆序数及奇偶性 简单行列式的计算 三角行列式的结论 特别地，对角行列式的结论 第118页，共177页。 第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质 §6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则 第119页，共177页。 一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式