线性代数PPT全集.ppt

利用矩阵的乘法：若记 则线性变换可记作 第191页，共290页。 对于线性方程组 则方程组可以表示为： 线性方程组的矩阵表示形式 第192页，共290页。 若记 则上述方程组可以表示为 线性方程组的向量表示形式 第193页，共290页。 矩阵乘法的运算规律 结合律: (AB)C = A(BC); 分配律: A(B+C) = AB+AC, (B+C)A =BA+CA; (3) ?(AB) = (?A)B = A(?B), 其中?为数; 第194页，共290页。 当 AB 有意义时，BA 可能无意义！ 例如: 不存在. 有意义，但是 注意: （1）矩阵乘法一般不满足交换律, 即: AB ? BA， 因此要注意矩阵相乘的次序. 一般，AB称为A左乘B，或者B右乘A. 第195页，共290页。 AB 和 BA都有意义时，它们可能不是同型矩阵. 例如： 是一阶方阵，但是 是三阶方阵. 第196页，共290页。 即使 AB 和 BA都有意义，也是同型矩阵，它们 也可能不相等. 例如: 设 AB ? BA. 第197页，共290页。 当 AB ? BA 时，称 A 与 B 不可交换； 当 AB=BA 时，称 A 与 B 可交换， (2) 矩阵的乘法一般不满足消去律，即 或 从上述例子还可以看到： 此时 A 与 B 必为同阶方阵。 若 但AB=O,则称 B 是 A 的右零因子， A 是 B 的左零因子. 第198页，共290页。 后面会证明：若 ，则 类比：当 a= 0 时 第199页，共290页。 特殊矩阵与矩阵相乘的有关结论： 单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数 1 在数的 乘法中的作用. 若 A 为方阵，则有 第200页，共290页。 左乘 A 等于用 乘以A中第 i 行的元素. 右乘 A 等于用 乘以A中第 i 列的元素. 第201页，共290页。 若 则 第202页，共290页。 例4: 计算下列矩阵乘积: 解: = ( ） a11x1+a21x2+a31x3 a12x1+a22x2+a32x3 a13x1+a23x2+a33x3 =(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3 第203页，共290页。 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时, 能否用克拉默法则解方程组? 此时方程组的解为何? 思考题解答 不能. 此时方程组可能为无解, 或有无穷多解. 第159页，共290页。 wangzhaoyanfen@ 第160页，共290页。 §2.1 矩 阵 一、矩阵概念的引入 1. 线性方程组 的解取决于系数aij和常数项bj ( i =1, 2, ···, n, j =1, 2, ···, m ). 对线性方程组的 研究可转化为对 这张数表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 第161页，共290页。 2. 某航空公司在A, B, C, D四城市之间开辟了若干航线, 如图所示表示了四城市间的航班图, 如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接A与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站 到站 其中 表示有航班. 第162页，共290页。 为了便于计算, 把表中的 改成1, 空白地方填上0, 就得到一个数表: 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 第163页，共290页。 二、矩阵的定义 定义: 由m?n个数 aij ( i =1, 2, ···, m; j =1, 2, ···, n )排成的 m 行 n 列的数表: 称为m行n列的矩阵. 简称 m?n 矩阵. 记作 简记为: A = Am?n = ( aij )m?n = ( aij ). 这m?n个数aij称为矩阵A的(第 i 行第 j 列)元素. 第164页，共290页。 矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同. 第165页，共290页。 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 例如: 是一个2?4实矩阵; 是一个3?3复矩阵; 第166页，共290页。 是一个1?4(实)矩阵; 是一个3?1(实)矩阵; 是一个1?1(实)矩阵. 第167页，共290页。 例如: 是一个3 阶方阵. 几种特殊矩阵 (1) 行数与列数都等于n的矩阵A, 称为n阶方阵. 也可记作An, 对于方阵，可以