第7讲 解决极值点偏移问题的四大技巧（解析版）.docx

学生+解析电子word版下载请加 QQ 教研群，群号 770925668，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨 第7讲 解决极值点偏移问题的四大技巧 【题型精讲】 题型一：构造对称和（或差） 1．（2021·山西·太原五中高三月考（理））设函数． （1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 （1）定义域为，， 当时，，即在上单调递增，不合题意，； 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 存在，使得成立，则，即， 又，， 即， 令，则， 在上单调递增，又，， 即实数的取值范围为. （2）当时，，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 由且知：； 令，， 则， 在上单调递增，，即； ，又，； ，，又且在上单调递减， ，即. 2．（2021·北京·临川学校高三期末）已知函数． （1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【详解】 解：（1）易知的定义域为， 由题意知，即在上恒成立，． 令，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，有最小值， 所以； （2）因为，由知，， 设 则，且在上单调递增，在上单调递减， 所以可令，，． 令，． 则 因为，所以，所以上在单调递减，且， 所以时，． 又，所以 所以． 所以． 因为，，且在上单调递增， 所以，． 3．（2021·全国全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）设方程的两个根分别为，，求证：. 【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）证明见解析. 【详解】 （1）由题意得：，令，解得：，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； 的极大值为；极小值为； （2）当时，，令，解得：， 当时，方程的两个根在区间内. 设函数， 则 ，. 令，，则， 在上为增函数，又， 则当时，；当时，； 当时，，当时，，当时，， 在上单调递减. 不妨设， 在上单调递减，在上单调递增，， ，，又，， ，，由（1）知：在上单调递增，， . 题型二：比值代换法 1．（2021·全国·高三月考）已知函数 （1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值； （2）若函数有两个极值点，求证： 【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析． 【详解】 （1）因为，， ①当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则；， ③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则； ④当，即时，，，函数在上单调递减，则． 综上，当时，； 当时，； 当时，. （2）要证，只需证：， 若有两个极值点，即函数有两个零点，又， 所以是方程的两个不同实根， 即，解得， 另一方面，由，得， 从而可得， 于是．不妨设， 设，则．因此，． 要证，即证：， 即当时，有， 设函数，则， 所以为上的增函数．注意到，，因此，． 于是，当时，有． 所以成立，． 2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，. （1）求的取值范围； （2）求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 (1)有两个零点有两个相异实根． 令，则由得：，由得：， 在单调递增，在单调递减，， 又，当时，，当时，当时，， 有两个零点时，实数a的取值范围为． （2）不妨设,由题意得, ，,， 要证：，只需证.，令，，只需证，只需证：. 令,， 在递增， 成立.综上所述，成立． 3．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））已知函数（）. （1）若，求函数在处的切线； （2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：. 【答案】（1）；（2），证明见解析. 【详解】 （1）的导数为， 则函数在处的切线斜率为， 又切点为， 则切线的方程为，即； （2）设函数，与函数具有相同的零点， ，知函数在上递减，上递增， 当，； 可证当时，，即， 即此时， 当时，， 有两个零点，只需（1），即； 证明：方法一：设函数， 则， 且对恒成立 即当时，单调递减，此时，（1）， 即当时，， 由已知，则， 则有 由于函数在上递增，即， 即． 方法二：故． 设，则，且，解得，， 要证：，即证明， 即证明， 设，， 令，，则， 在上单调增，（1）， 在上单调增， 则（1）． 即时，成立， 题型三：消参减元 1．（2021·湖南师大附中高三月考）已知函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围． （2）若函数的两个零点为，，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】 （1）解：因为恒成立