第5讲 利用导数研究不等式问题（解析版）.docx

学生+解析电子word版下载请加 QQ 教研群，群号 770925668，更多资料关注公众号：玩转高中数学研讨 第5讲 利用导数研究不等式问题 【题型精讲】 题型一：构造法证明不等式 1．（2021·山东德州·高三期中）已知函数(其中常数是自然对数的底数). （1）当时，讨论函数的单调性； （2）证明：对任意，当时，. 【答案】 （1）答案见解析 （2）证明见解析 （1） 由， 令，解得，， ①当， 由，解得或， 由，解得， 故在，上单调递增； 在上单调递减， ②当，，在上单调递增; ③当，由，解得或， 由，解得 故在，上单调递增； 在上单调递减， 综上所述，当时， 在，上单调递增；在上单调递减， 当，在上单调递增; 当，在，上单调递增； 在上单调递减. （2） 证明：对任意，当时，要证， 需证，， 令， 则， 令， 则，因为，，所以， 所以， 所以时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，原不等式成立. 2．（2021·河南驻马店·高三月考（文））已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，证明：. 【答案】 （1）答案不唯一，见解析 （2）证明见解析 （1） 由题意知的定义域为.由已知得 当时,在上单调递增,无单调递减区间. 当时,令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） 证明：原不等式等价于，则， 易知在上单调递增，且， 所以在上存在唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增， 要证即要证，由，得,，代入,得， 因为， 所以. 3．（2021·湖北武汉·高三月考）已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意的，当时，. 【答案】 （1）答案见解析 （2）证明见解析 （1） 解：. ①当时，，函数在R上单调递增； ②当时，由解得，由解得. 故在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 证明：原不等式等价于. 令，则. 当时，；当时，. ∴，即，当且仅当时等号成立. 当时，显然成立；当且时，. 欲证对任意的，成立，只需证 令，令 递减，递增 故存在，使 又由， 所以时，，递增， 时，，递减， 时，，递增，又， 故时，. 综上所述，结论得证 题型二：等价转化法解决不等式恒成立问题 1．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数，，其中. （1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与函数图象的切线和，求，的斜率之积； （2）若对上，总有成立，试求实数的最小值. 【答案】 （1） （2） （1） 依题意知，，，所以，. 设切线，的斜率分别为，，其切点分别为，， 则有解得；同理，有解得. 所以，即所求切线，的斜率之积为. （2） 由于对上，总有成立，即对，有恒成立. 令（），则. 令（），则有（）， 所以函数在区间上为单调递增函数. 因为，所以，， 所以，所以在区间上，存在唯一的实数，使得， 即. ① 所以当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增， 所以函数在处取得极小值，即最小值， 即.② 又由①得，，所以，所以.则由②得，. 令，所以（）， 所以函数在区间上为单调递减函数. 又，因此.所以. 由于，所以，即所求实数的最小值为. 2．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知函数，其中． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上，恒成立，求的取值范围． 【答案】 （1） （2） （1） 解：当时，因为， 所以， 所以，， 所求切线的方程为，即． （2） 因为， 所以． 令，得，令，得或． 所以的单调递减区间是，单调递增区间是， ①若，即，在上单调递增，在上单调递减． 因为在区间上，恒成立， 所以解得． 又， 所以． ②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为在区间上，恒成立， 所以解得． 又， 所以． 综上，， 所以的取值范围是． 3．（2021·云南大理·模拟预测（文））已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，函数的图象均在轴下方，求实数的取值范围． 【答案】 （1） （2） （1） 因为，所以，， 即切线的斜率为，切点坐标为，所以切线方程为， 即为. （2） 当时，函数的图象均在轴下方， 即当时，函数恒成立，所以有在时恒成立， 即， 令，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故在取得最大值， 最大值为，所以， 故实数的取值范围是． 题型三：等价转化法解决不等式能成立问题 1．（2021·海南·高三月考）已知，在上是单调递增函数. (1)求的最小值； (2)当实数取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2；(2). 【详解】 (1)由题