突破极易混淆的乘法公式11教学设计.docxVIP

PAGE 4 突破极易混淆的乘法公式 一、概念剖析 完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 文字叙述： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍． 口诀：首平方，尾平方，首尾2倍放中央，同加 异减 符号看前方． 解读： 1、公式左边为完全平方，右边为二次三项式． 2、右边有两项为两数的平方和，另一项是两数积的2倍，且与左边中间的符号相同． 3、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式． 4、(首±尾)2＝首2±2·首·尾＋尾2． 二、基本计算 例1：(－3m＋2n)2 分析： 本题中，首项为负，我们计算时，一般将其转化为正，利用互为相反数的偶次幂相等来转化，也可利用加法交换律． 解答： 原式＝(2n－3m)2 ＝(3m－2n)2 ＝(3m)2－2×3m·2n＋(2n)2 ＝9m2－12mn＋4n2 变式：(－3m－2n)2 分析： 显然，本题只能用互为相反数的偶次幂相等来转化更快，且符号不易出错． 解答： 原式＝(3m＋2n)2 ＝9m2＋12mn＋4n2 例2：(a＋b＋c)2 分析： 本题中是三项的和的平方，我们可以将其中两项作为一个整体，比如a＋b看作公式中的a，c看作公式中的b；也可以a看作公式中的a，b＋c看作公式中的b． 解答： 法1： 原式＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 法2： 原式＝[a＋(b＋c)]2 ＝a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2 ＝a2＋2ab＋2ac＋b2＋2bc＋c2 变式：(2a－b＋3c)2 分析： 显然，本题将2a－b看作整体更合适． 解答： 原式＝[(2a－b)＋3c]2 ＝(2a－b)?2＋2(2a－b)·3c＋(3c)2 ＝4a2－4ab＋b2＋12ac－6bc＋9c2 例3：1042 分析： 本题中，我们可以把104看成100＋4，则问题转化为用完全平方公式解决． 解答： 原式＝(100＋4)2 ＝1002＋2×100×4＋42 ＝10000＋800＋16 ＝10816 变式：9.92 分析： 本题中，我们可以把9.9看成10－0.1． 解答： 原式＝(10－0. 1)2 ＝102－2×10×0.1＋0.12 ＝100－2＋0.01 ＝98.01 三、技能提升 例1：在下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的有，如能，写出化简的结果 (1)?(－a＋2b)2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??( ? ? ) (2)?(b＋2a)(b－2a) ? ? ? ? ? ? ?( ? ? ) (3)?(1＋a)(－a－1) ? ? ? ? ? ? ?( ? ? ) (4)?(－3ac＋b)(3ac－b) ? ? ? ? ?( ? ? ) (5)?(a2－b)(a＋b2) ? ? ? ? ? ? ? ( ? ? ) (6)?( 100－1)(100＋1) ? ? ? ? ? ?( ? ? ) 分析： 我们把(a＋b)2展开，即可写成(a＋b) (a＋b)，其中，第一个括号中的a，与第二个括号中的a相同，b也相同，可以称其为“两同”，是不是只有“两同”的情况可以用完全平方公式呢？ 不止，如(a＋b)(－a－b)，a与－a，b与－b互为相反数，可以称其为“两反”，我们可以写成(a＋b)[－(a＋b)]，即－(a＋b)2，则“两反”的情况也可以用完全平方公式． 解答： (1)可以，两同，转为(a－2b)2 (2)不可以，一同一反 (3)可以，两反，转为－(1－a)2 (4)可以，两反，转为－(3ac－b)2 (5)不可以， (6)不可以，一同一反 例2：(6m2－5n)(5n－6m2) 分析： 显然，这是一个“两反”形式，所以可以用完全平方公式，注意前面需添负号． 解答： 原式＝－(6m2－5n)2 ＝－(36m4－60m2n＋25n2) ＝－36m4＋60m2n－25n2 变式：(－2n＋m－3p)(2n－m＋3p) 分析： 类似例2，注意前面添负号，去括号时要变号． 解答： 原式＝－(2n－m＋3p)2 ＝－[(2n－m)＋3p]2 ＝－[(2n－m)2＋2(2n－m)·3p＋(3p)2] ＝－(4n2－4mn＋m2＋12np－6mp＋9p2) ＝－4n2＋4mn－m2－12np＋6mp－9p2 例3： 1022－204×2＋4 分析： 本题中，我们关注到整个多项式有3项，其中首项和尾项都是平方形式，可以想到是完全平方公式的展开形式，那么，我们可以逆用完全平方公式简算． 解答： 原式＝1022－2×102×2＋22 ＝(102－2)2 ＝10000 变式：化简求值，(m＋n)2－2(m－n)(m＋n)＋(n－m)2，其中m＝