一元一次方程的解的情况与整数解.docVIP

PAGE 1 第5讲 一元一次方程的解的情况与整数解 二、方法剖析与提炼 例1．（2014娄底）已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，求a的值． 【解答】∵x=2用方程解的定义寻求关于a的等式是方程2x+a 用方程解的定义寻求关于a的等式 2×2+a﹣5=0 ∴a=1 【解析】（1）把方程的解x=2代入方程。（2）解关于a的方程2×2+a﹣5=0得4+a﹣5=0，解出a的值. 【解法】一元一次方程的解，解一元一次方程。 【解释】本题主要考查学生对方程的解的理解。关于x的方程2x+a﹣5=0中未知数是x，把a看做待定的常数，根据一元一次方程的解的定义，把x=2代入方程后，求出关于a的一元一次方程。 例2．解关于x的方程（mx-n）(m+n)=0 【解答】（1）把方程化为最简形式：m2x+mnx-mn-n2=0 整理，得m(m+n)x=n(m+n) （2）讨论：①当m+n≠0，且m≠0时，方程有唯一解 x=； ②当m+n≠0，且m=0时，方程无解； ③当m+n=0时，方程有无数多个解。 【解析】（1）这个方程中未知数是x, 而m、n是可以取不同实数的常数。因此需要讨论m、n不同值时方程解的情况。 （2）对含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围。解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论。 （3）对于不是最简形式的方程，通常情况下要先化为最简方程。 【解法】通过化简，转化为最简方程ax=b 的形式，然后分三种情况进行讨论。 【解释】对于含有字母系数的方程，学生一般不太理解，不是简单形式的方程，通常情况下要化简为最简方程，在解题过程中通过去括号，化繁为简转化为最简方程m(m+n)x=n(m+n)的形式时，有的学生往往会两边同除以m+n，得到mx=n的形式，这样就会漏掉m+n=0的情况。 例3. 已知关于x的方程 a(x-3)=b(x+1)-3a无解，问a和b应满足什么关系？ 若a=0，b≠0，方程ax=b变为0?x=b,则方程无解。【解答】 若a=0，b≠0，方程ax=b变为0?x=b,则方程无解。 ax- bx =3 a +b-3a， ax- bx = b， （a- b）x = b。 （2）∵方程无解，∴a- b=0，且b≠0。 即a=b≠0时，方程无解。 【解析】(1)对于较复杂的方程一般先把方程化为最简形式。 （2）对于方程ax=b，若a=0且b≠0时，方程无解。反之，若方程无解，则a=0且b≠0。 【解法】化为最简形式后，根据方程无解，得出a=b≠0。 【解释】学生应熟知对于最简方程ax=b，当a=0且b≠0时，方程无解；反之，当方程ax=b无解时，则有a=0且b≠0成立，当方程ax=b有唯一解x= QUOTE 4a+2 时，则a≠0；当方程ax=b有无数多个解时，则a=0， b=0。 根据a能否整除b，以及a、b是否同号，来判断方程ax=b的 根据a能否整除b，以及a、b是否同号，来判断方程ax=b的解的情况 【解答】(1)将方程化简，得：ax+a=a-2x+4 ax+2x =a+4- a （a+2）x=4 (2)当a+2≠0时，方程有唯一解， x= QUOTE 4a+2 ； (3)当（a+2）能整除4时，方程有整数解. ∴当a=-6,-4,-3,-1,0,2时，方程有整数解。 (4)当a+2=1,2,4，即当a=-1,0,2时，方程有正整数解。 (5)当a+2>0时，即a>-2时，方程有正数解。 【解析】(1)化为一般形式ax=b时，要分情况讨论方程的解。 (2)当a能整除b时，方程有整数解。 (3)当a能整除b时，且a、b同号时，方程有正整数解。 (4)整除时要进行分类讨论，且满足a≠0。 【解法】化为最简方程，对a的不同取值范围进行分类讨论。 【解释】将关于x的方程a(x+1)=a-2(x-2)化简后，要讨论x的解何时为整数、正整数、正数，首先要确定方程是否有解。对于方程（a+2）x=4，在a+2≠0时，才有唯一解。对于最简方程ax=b，要根据a是否整除b，以及a、b是否同号，来判断方程ax=b的解的情况。 例5. 解关于x的方程（a+x-b）（a-b-x）=（a2-x）（b2+x）-a2b2 对于含字母系数的方程ax=b，要对 对于含字母系数的方程ax=b，要对系数进行分类讨论 （a-b）2-x2= a2b2+ a2x - b2x- x2-a2b2 化简，得：（a2x- b2）x=（a-b）2 （2） ①当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解x= QUOTE (a-b)2a2 ②当 QUOTE a2-b2=0(a-b)2≠0 时，即a