晋慧苑_线性方程组的求解和应用_晋慧苑_线性方程组的求解和应用.pdf

摘 要 随着科学技术和社会的不断进步和发展，数学领域也取得了很大的进展，并且与现实 生活的联系更加紧凑。同时，在科学，物理，航空航天领域当中，许多大型问题都会简化 成数学模型，而且数学模型又可以转化成线性方程组。因此，研究线性方程组的求解方法 对现实生活有重大意义。同时，研究线性方程组的求解一直是数学领域的一项重要内容。 其中，即使直接法求解线性方程组已经慢慢被迭代法取代，对于一些矩阵来说，还是用直 接法比较简单方便，但是在实际计算结果仍有错误,如舍入误差,舍入误差的积累会严重影 响解决方案的准确性，计算误差不容易控制。而已经慢慢普及的迭代法求解也有缺点,它 要求方程的系数矩阵具有一些特殊的性能，一些数值算例表明，当系数矩阵的条件数很大 时，由于在计算过程中迭代次数的增加，导致计算机的计算量和存储量增大，导致收敛速 度很慢，甚至不收敛。因而，如何利用有效的数值求解方法来求解线性方程组的数值解成 为许多数学工作者的研究方向之一。 本文分为两个方面，首先对于直接法求解导致解的精确性，也就是舍入误差进行改进 优化，使得对于一些比较简单的线性方程组的求解既简单又精确。其次，引出线性方程组 的迭代求解方法，讨论古典迭代方法的局限性，以及目前预处理技术的局限性，并在此基 础上给出优化方法，加快求解的收敛速度。以及最后通过数值例子，给出数值解和误差数 据。 关键词：线性方程组；数值解；直接法；收敛速度 Abstract With the continuous progress and development of science and technology and society, great progress has been made in the field of mathematics, and the connection with real life is more compact. At the same time, in the fields of science, physics and aerospace, many large problems will be simplified into mathematical models, and mathematical models can be transformed into linear equations. Therefore, it is of great significance to study the solution method of linear equations for real life. At the same time, it is an important content in mathematics to study the solution of linear equations. Even though the direct method has been gradually replaced by the iterative method, the direct method is relatively simple for some matrices convenient, but there are still errors in the actual calculation results, such as rounding error, the accumulation of rounding error will seriously affect the accuracy of the solution, and the calculation error is not easy to control. The iterative method, which has been popularized slowly,