定积分的应用： 平面图形面积.ppt

* 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 一、直角坐标系情形 * 解 两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 * 解 两曲线的交点 选 为积分变量 * 练习:求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 * 且为最小点 . 故所求切线为 得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 * 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 * 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． * 面积元素 曲边扇形的面积 二、极坐标系情形 * 解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 * 解 利用对称性知 * 求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积. （注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算） 三、小结 * 边界方程 参数方程 极坐标方程 直角坐标方程 * 思考题 * 思考题解答 x y o 两边同时对 求导 * 积分得 所以所求曲线为 * 练 习 题 * * * 练习题答案 *