专题08 利用公式法求等差等比数列和(解析版).docxVIP

专题08 利用公式法求等差等比数列和 【知识总结】 1．公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。 ①等差数列的前n项和公式： Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d。 ②等比数列的前n项和公式： Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1。)) (2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。 【例题讲解】 【例1】　在公差不为零的等差数列{an}中，a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Tn。 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列， 即4－d,4＋d,4＋7d成等比数列， 所以有(4－d)(4＋7d)＝(4＋d)2， 即8d2－16d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去)， 所以a1＝2，数列{an}的通项公式为an＝2n。 (2)由(1)知bn＝2n＋22n＝2n＋4n， 所以Tn＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋(4＋42＋43＋…＋4n)＝2×eq \f(n·?n＋1?,2)＋eq \f(4·?1－4n?,1－4)＝n(n＋1)＋eq \f(4n＋1,3)－eq \f(4,3)。 分组转化法求和的常见类型 1．若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和。 2．通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和。 【变式训练】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是(　　) A．13 B．76 C．46 D．－76 (2)若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 解析　(1)因为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，所以S15＝1＋(－5＋9)＋(－13＋17)＋…＋(－53＋57)＝1＋4×7＝29，S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44，S31＝1＋(－5＋9)＋(－13＋17)＋…＋(－117＋121)＝1＋4×15＝61，所以S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76。故选D。 (2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝eq \f(2?1－2n?,1－2)＋2×eq \f(n?n＋1?,2)－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2。故选C。 答案　(1)D　(2)C 【例题训练】 一、单选题 1．已知等差数列，其前项的和为，，则（ ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】B 【分析】 利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值. 【详解】 由等差数列的性质，可得，则 故选：B 2．已知等比数列的前项和为，若，且数列也为等比数列，则的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设等比数列的公比为，当时，，该式可以为0，不是等比数列，当时，，若是等比数列,则，可得，利用，可以求得的值，进而可得的表达式 【详解】 设等比数列的公比为 当时，，所以， 当时，上式为0，所以不是等比数列. 当时，， 所以， 要使数列为等比数列，则需，解得. ，， 故. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若是等比数列，则，即可求得的值，通项即可求出. 3．已知数列的前n项和，则（ ） A．350 B．351 C．674 D．675 【答案】A 【分析】 先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值. 【详解】 当时，； 当时，. 不适合上式， . 因此，； 故选：A. 【点睛】 易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足. 4．等差数列的首项为，公差不为．若、、成等比数列，则的前项的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据等比中项的性质列方程，