5.空间向量-排列组合.docxVIP

、空间向量 1.平面法向量的求法 例1.已知一个平面上的三个点， A(1,1,2), B(3,2,1),C(2,2,3)，求该 平面的法向量n。 分析：由三点的坐标，可以得到向量 AB , AC的坐标，并且平面的法 向量垂直于平面的任一向量，由向量垂直内积为零，我们可以得到有 关法向量坐标的方程组，从而得出法向量三个坐标之间的关系。 解答： AB =(2,1,-1)，AC =(1,1,1)，令法向量 n 的坐标为(x,y,z)，由 [n 琴AB = 0 '2x+y-z = 0 x = 2z n -AC = 0 x y z = 0 y — 3z 取z =1，则法向量n为(2, -3,1) 2.计算 (1)线线角 ▼〔0,二1 例1.已知向量AB=(1,2,-1)，CD=(-1,1,1)，求两个向量的夹角。 AB-CD 门 分析：COS& = 一 f[-一-T =0 : I AB CD | ~ 兀 arctan v -■—I 2 2 arctan v -■— I 2 2丿 【注意：arccosv ?〔0,二 Larcsin ⑵线面角（朕0,叮〕 I〔 2」丿 例1.已知向量AB所在的直线与一个平面相交，交点为 A，求这条直 线和平面所成的夹角:o 分析：过点B做平面的垂线，垂足为O点，连接A,O,贝y ? BAO - , OB 即为平面的一个法向量n , . ABO「，直角三角形中sin —二cos,，从而 可以转化成求向量AB和法向量n的夹角。 sin — cos，△吏1 AB n （3）面面角 v ? lo,二 1 已知两个平面的法向量为n1,n2，求两个平面的夹角二（如下图） 分析：求两个平面间的夹角，转化为求两个平面法向量夹角的余弦值， 因为两个平面的夹角和他们法向量的夹角有可能相等，有可能互补， 通过眼瞪法判断两个平面间的夹角为锐角还是钝角， 从而判断余弦值 的正负。 【眼瞪法：观察两个法向量是否同进同出，如果是同进同出，贝y两个 法向量的夹角与两个平面间的夹角互补， 如果一进一出，则两个法向 量的夹角和两个平面间的夹角相等。】 解答：此题中，两个法向量同进，设之间的夹角为 :,且两个平面所 成的角为钝角，所以： COS^ = - COSG = -j-n^n2y (4)点面距 例1.直线AB与平面〉相交于点B，求点A到该平面的距离(如图示)。  分析：过点A做直线AO垂直于平面：?，垂足为O，线段AO的长度即 为所求的距离d .设AO与AB间的夹角为二，直线AO所在的向量即为 平面的一个法向量n COSTAB_n COST AB_n AB n 所以由向量的内积公式得到: 所以 （5）线面距（平面与其平行线之间的距离） 分析：线面距转化为平行线上一点到平面间的距离。 例1. 如图示平面 ABCD _平面 ABS , CB _ AD , CB _平面 ABS，AS _ BS , AD =2,BC =1,AS =2,BS =E 为 SD 的中点。 （1） 求点C到平面ASD的距离。 （2） 求二面角 E -AB -C。 解: （ 1 ）由平面ABCD —平面ABS , CB - AD , CB —平面ABS可知AD —平 向量AD "0,2), AS=(乎年,0),注年 向量 AD "0,2), AS=(乎年,0),注年 | 3 -1) 面ABS , AB为两个平面的公共交线，所以 AD _ AB。 以A为坐标原点，AB为y轴，与AB垂直的直线为x轴，AD为z轴, 建立空间直角坐标系 因为 AS _ BS，所以 AB = AS2 BS2 6 , 各条边的长度都已知，可以得出各个点的坐标， A(0,0,0), B(0八6,0), C(0,、.6,1), D(0,0,2), 设平面ASD的法向量为n(x,y,z) 由n_ AD, n_AS，可得一个法向量n (「2,1,0)， CS -n 可以得出点C到平面ADS的距离d =、. 2 。 (3)点 E(ffi)，向量 AE=(J,f,1),BE 珂孕厂^ ,0) A^ (0/6,0), AC = (0八 6,1), BC = (0,0,1), 3 3 3 3 ni可以求出两个平面的两个法向量为 m =(1八2,-、-3),n2 =(1,0,0) ni 向量间的夹角为「观察得该二面角为锐角, 口厲羽2 亞 cosf =一——=— n1 n2 所以二面角E-AB-C的大小为眦込讨 .排列组合 对于排列组合题目一共有八种解法： 1.捆绑法 （1） 7个人排队，甲乙必须在一起的排法有多少种？ 分析：甲乙必须在一起，可以把甲乙捆绑起来看成一个整体，和剩下 的5个人进行全排列A6，同时甲乙进行全排列a2，由分步基数原理 可得总排法有A6a2种。 （2） 5个人去4个城市旅游，每个城市至少去1