多面体外接球的教学设计.doc

PAGE PAGE 1 几个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 教学内容解析 本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。 本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。 二、教学目标设置 知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题 2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。 过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。 情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。 三、学生学情分析 多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。 在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。 四、教学过程设计 （一）、新课引入 1、图片展示：通过爱因斯坦的名言，及两幅有趣的图片，让学生感知想象力的重要。复习球的定义，及球的有关性质，让生对球有一个整体把握。 2、学生活动：展示长方形外接圆的求法 （二）、新课讲解 通过几个模型，让学生突破这类问题，遇到问题能快速找到方法。 一、直接法 类型1、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 类型2、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，，列方程组， ， 第三步：根据墙角模型，，，求出. 类型3、矩形模型（棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边） 练习题： 1.（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥平面ADC， BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（ ） A．4π B．3π C．2π D．4π 2、（2019年高考全国卷Ⅰ理科第12题）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，、分别是、的中点，， 则球的体积为（ ） ． ． ． ． 3、（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4、（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为( ) A． B． C． D． 设计意图：通过例题展示，学生合作探究，从理论和实践上掌握补成长方体模型的方法。并通过学生的探究让他们自己总结适合这种方法的情况。让学生体会发现问题并解决问题的快感 二、构造黄金三角形 类型1、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 类型2、斗笠模型（棱锥顶点的投影在底面的外心上） 题设：如图的射影是的外心三棱锥 三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：， 解出 类型3、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点， 作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②. 类型4、切瓜模型（有两个平面互相垂直的棱锥） 第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，