人教B版数学必修第一册新教材同步讲义：第1章 1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定含答案.docVIP

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假． 2．理解含有一个量词的命题的否定的意义． 3．会对含有一个量词的命题进行否定．(重点) 4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(重点、难点) 1.通过对命题的否定的认识，提升数学抽象的数学素养． 2．通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的数学素养. 1．命题的否定 (1)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p ”，读作“非p”或“p的否定”． (2)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然． 常见的命题的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 2.含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论； 全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定p：?x∈M，p(x)； 存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定p：?x∈M，p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 1．有以下命题：①没有男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是(　　) A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④ C　[所有男生都爱踢足球的否定为“不是所有男生都爱踢足球”，即“至少有一个男生不爱踢足球”．] 2．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　) A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D　[根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.] 3．命题“?x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是 (　　) A．?x∈R，x2＋2x＋2＞0 B．?x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．?x∈R，x2＋2x＋2＞0 D．?x∈R，x2＋2x＋2≥0 A　[由存在量词命题和全称量词命题的关系可知“?x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定为?x∈R，x2＋2x＋2＞0.] 4．命题“任意x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是________． 存在x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0　[已知命题是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，先将“任意”换成“存在”， 再否定结论，即命题的否定是：存在x∈R，若y＞0, 则x2＋y≤0.] 命题的否定 【例1】　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：y＝sin x是周期函数； (2)p：实数的绝对值都大于0； (3)p：菱形的对角线垂直平分； (4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0. [解]　(1) p ：y＝sin x不是周期函数．假命题． (2) p：实数的绝对值不都大于零．真命题． (3) p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题． (4) p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题． p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反．对一些词语的正确否定是写p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等． 1．写出下列命题的否定形式，并判断其真假． (1)p：面积相等的三角形都是全等三角形； (2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零； (3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0. [解]　(1) p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题． (2) p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题． (3) p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题． 全称量词命题的否定 【例2】　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：任意n∈Z，则n∈Q； (2)p：等圆的面积相等，周长相等； (3)p：偶数的平方是正数． [解]　(1) p：存在n∈Z，使n?Q，这是假命题． (2) p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题． (3) p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题． 1．写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定． 2．有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”． 2．写出下列全称量词命题的否定． (1)p：所有能被3整除的整数都是奇数； (2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； (3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数； (4)p：可以被5整除的整数，末位是0. [解]　(1) p：存在一