北大清华历年暑期学堂(综合营)数学试题汇总.pdf

北大清华历年暑期学堂 （综合营）数学试题汇总 目录 北京大学 2019年北京大学综合营数学试题及答案……………………………………………………1 2018年北京大学综合营数学试题及答案……………………………………………………4 2017年北京大学综合营数学试题及答案……………………………………………………9 2016年北京大学综合营数学试题及答案……………………………………………………13 2015年北京大学综合营数学试题及答案……………………………………………………16 2014年北京大学综合营数学试题及答案……………………………………………………19 清华大学 2019年清华大学综合营数学试题及答案……………………………………………………22 2017年清华大学综合营数学试题及答案……………………………………………………26 2016年清华大学综合营数学试题及答案……………………………………………………34 2015年清华大学综合营数学试题及答案……………………………………………………41 2019年北京大学综合营数学试题及答案 2018年北京大学综合营数学试题 （试题和答案来源于公众号“竞赛与自招”） 2018年北京大学综合营数学试题解析 2017年北京大学综合营数学试题及解析 2016年北京大学综合营数学试题及解析 文科生做前 5 题，理科生做后 5 题，每题 20 分． 2 1．设关于 x 的方程 sin x+cosx+a 0 在实数范围内有解，求实数 a 的取值范围． 1 1 1 2．设 a,b,c 均为正数且 a,b,c 成等差数列，判断 ， ， b c c a a  b 是否成等差数列，并说明理由． 2 2 2 3．设 a,b,c 为实数，证明：对任意实数 x 都有 (x−a) + (x−b) ⩾c 当且仅当(a−b) ⩾2c． z 4．已知复数 z ,z 满足 z 与 z +z 有相同的模且z z a(1i) ，其中 a 为非零实数，求 2 的 1 2 1 1 2 1 2 z 1 值． 5．一条直线与双曲线交于 A,B 两点，与此双曲线的渐近线交于 C,D 两点，证明：线段 AC 与 BD 的长度相等． 2 2 6．设 α, β均为锐角，满足 sin α+sin β sin (α+ β)，求 α+ β的值． 7．已知△ABC 的面积为 1，D,E 分别是边 AB,AC 上的点，F 为线段 DE 上的一点，设 AD:AB x, AE:AC y, DF:DE z 且 y+z−x 1．求△BDF 的面积的最大值并求出此时 x,y,z 的 值． 2016 年北大全国优秀中学生暑期学堂 数学试题参考答案 2 1．题中方程有解即 a −sin x−cosx 有解，从而有