2021年北京大学强基计划数学试题.pdf

本试卷共20 题，每一道题均为单选题，下为回忆版，部分题目条件可能与实际考试有 所出入，仅供参考. 1. 已知O 为△ABC 的外心，AB 、AC 与△OBC 的外接圆交于D 、E. 若DE = OA，则 OBC = . 答案：π 4 解： 图1: 第1 题图 如图1 所示，联结BE. 因为DE = OC ，在△OBC 外接圆中，DBE = OBC ，进而可得DBO = EBC . 另外在⊙O 中，AOB = 2ACB. ◦ 以及AOB + 2OBD = 180 . 1 ◦ 即2BCE + 2EBC = 180 . 即△EBC 为直角三角形，且BC 为直角边，BC 为第二个圆的直径. 所以OBC = π . 4 2. 方程y3 + f4 = d5 的正整数解(y, f, d) 的组数为 . 答案：无穷 解：考虑到2n + 2n = 2n+1 ，取n ≡ 0 (mod 3)，n ≡ 0 (mod 4) ，n ≡ −1 (mod 5) 即可. 例如取n = 60k + 24，k ∈ N. 20k+83 15k+64 12k+55 此时 2 + 2 = 2 . 3. 若实数a, b, c, d 满足ab + bc + cd + da = 1，则a2 + 2b2 + 3c2 + 4d2 的最小值为 . 答案：2 解：因式分解可得(a + c)(b + d) = 1. 2 2 1 2 2 2 3 2 根据柯西不等式可得(a + 3c ) 1 + (a + c) ，即a + 3c (a + c) . 3 4 2 2 1 1 2 2 2 4 2 同样地，(2b + 4d ) + (b + d) ，即2b + 4d (b + d) . 2 4 3 2 2 2 2 3 2 4 2 因此a + 2b + 3c + 4d (a + c) + (b + d) 2(a + c)(b + d) = 2. 4 3 等号成立条件为a : b : c : d = 3 : 2 : 1 : 1，其中c = d = ± √3 . 6 2021 i 4. 已知Y = 2 ，则Y 的个位数字是 . i=0 7 答案：5 解：由23 ≡ 1 (mod 7)，可知2i 模7 是三循环的， 23k ≡ 1 (mod 7)，23k+1 ≡ 2 (mod 7)，23k+2 ≡ 4 (mod 7)，其中k ∈ N. 2021 i 2021 i 2022 Y = 2 = 2 − 2022 1 + 2 + 4 = 2 − 1 − 674 i=0 7