2021年全国乙卷理科数学试题及答案.docx

绝密★启用前 2021年全国乙卷理科数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命卷人： 审核人： 一、选择题（（每小题5分,共60分）） 1. 设,则( ) A. B. C. D. 2. 已知集合,,则( ) A. B. C. D. 3. 已知命题﹐;命题,则下列命题中为真命题的是( ) A. B. C. D. 4. 设函数,则下列函数中为奇函数的是( ) A. B. C. D. 5. 在正方体中,为的中点,则直线与所成的角为( ) A. B. C. D. 6. 将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰,短道速滑?冰球和冰壶个项目进行培训,每名志愿者只分配到个项目,每个项目至少分配名志愿者,则不同的分配方案共有( ) A. 种 B. 种C. 种 D. 种 7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( ) A. B. C. D. 8. 在区间与中各随机取个数,则两数之和大于的概率为( ) A. B. C. D. 9. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图,点在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”.与的差称为“表目距的差”,则海岛的高( ) A. B. C. D. 10. 设,若为函数的极大值点,则 A. B. C. D. 11. 设是椭圆:的上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 12. 设,,,则( ) A. B. C. D. 二、填空题（（每小题5分,共20分）） 13. 已知双曲线:的一条渐近线为,则的焦距为__________. 14. 已知向量,,若,则__________. 15. 记的内角,,的对边分别为,,,面积为,,,则__________. 16. 以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为__________(写出符合要求的一组答案即可). 三、解答题（（每小题12分,共60分）） 17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品,得到产品该项指标数据如下:旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和, 样本方差分别记为和. (1)求,,,: (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高 , 否 则不认为有显著提高 ) 。  18. 如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,为的中点,且. (1)求; (2)求二面角的正弦值.  19. 记为数列的前项和,为数列的前项积,已知. (1)证明:数列是等差数列; (2)求的通项公式.  20. 设函数,已知是函数的极值点. (1)求; (2)设函数,证明:.  21. 已知抛物线:的焦点为,且与圆:上点的距离的最小值为. (1)求; (2)若点在上,,是的两条切线,,是切点,求面积的最大值.  四、选做题（（每小题10分,共20分）） 22A. 在直角坐标系中,的圆心为,半径为. (1)写出的一个参数方程; (2)过点作的两条切线.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程.  22B. 已知函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)若,求的取值范围.   2021年全国乙卷理科数学试卷答案和解析 第1题： 答案：C 解：设,则,,所以,,所以. 第2题： 答案：C 解：,; 当,时,;当,时,.所以,.故选C. 第3题： 答案：A 解：根据正弦函数的值域,故,,为真命题,而函数为偶函数,且时,,故,恒成立.,则也为真命题,所以为真,选A. 第4题： 答案：B 解：,向右平移一个单位,向上平移一个单位得到，即为奇函数. 第5题： 答案：D 解：如图,即为直线与所成角. 易知为正三角形,又为中点,所以. 第6题： 答案：C 解：所求分配方案数为. 第7题： 答案：B 解：逆向:. 故选B. 第8题： 答案：B 解：由题意记,,题目即求的概率,绘图如下所示. 故. 第9题： 答案：A 解：连接交于,则. 记,,则. 而,.所以. 故,所以高. 第10题： 答案：D 解：若,其图像如图(1),此时,;若,时图像如图(2),此时,. 综上,