2021年全国乙卷文科数学试题及答案.docx

绝密★启用前 2021年全国乙卷文科数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命卷人：* 审核人： 一、选择题（（每小题5分,共60分）） 1. 已知全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 2. 设,则( ) A. B. C. D. 3. 已知命题;命题,则下列命题中为真命题的是( ) A. B. C. D. 4. 函数的最小正周期和最大值分别是( ) A. 和 B. 和C. 和 D. 和 5. 若满足约束条件则的最小值为( ) A. B. C. D. 6. ( ) A. B. C. D. 7. 在区间随机取个数,则取到的数小于的概率为( ) A. B. C. D. 8. 下列函数中最小值为的是( ) A. B. C. D. 9. 设函数,则下列函数中为奇函数的是( ) A. B. C. D. 10. 在正方体中,为的中点,则直线与所成的角为 A. B. C. D. 11. 设是椭圆:的上顶点,点在上,则的最大值为 A. B. C. D. 12. 设,若为函数的极大值点,则 A. B. C. D. 二、填空题（（每小题5分,共20分）） 13. 已知向量,,若,则__________. 14. 双曲线的右焦点到直线的距离为__________. 15. 记的内角,,的对边分别为,,,面积为,,,则__________. 16. 以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为__________(写出符合要求的一组答案即可). 三、解答题（（每小题12分,共60分）） 17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品,得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为和. (1)求,,,; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).  18. 如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为的中点,且. (1)证明:平面平面﹔ (2)若,求四棱锥的体积.  19. 设是首项为的等比数列,数列满足.已知,,,成等差数列. (1)求和的通项公式; (2)记,和分别为和的前项和.证明:.  20. 已知抛物线:的焦点到准线的距离为. (1)求的方程, (2)已知为坐标原点,点在上,点满足,求直线斜率的最大值.  21. 已知函数. (1)讨论的单调性; (2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.  四、选做题（（每小题10分,共20分）） 22A. 在直角坐标系中,的圆心为,半径为. (1)写出的一个参数方程; (2)过点作的两条切线.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,求这两条切线的极坐标方程.  22B. 已知函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)若,求的取值范围.   2021年全国乙卷文科数学试卷答案和解析 第1题： 答案：A 解：,,故选A. 第2题： 答案：C 解：,选C. 第3题： 答案：A 解：根据正弦函数的值域,,故,为真命题,而函数为偶函数,且时,,故,恒成立.则也为真命题,所以为真,选A. 第4题： 答案：C 解：,. 故选C. 第5题： 答案：C 解：根据约束条件可得图像如下,的最小值,即,轴截距最小值.根据图像可知过点时满足题意,即. 第6题： 答案：D 解：∴选D. 第7题： 答案：B 解：在区间随机取个数,可知总长度为,取到的数小于,可知取到的长度为,根据几何概型公式,∴选B. 第8题： 答案：C 解：对于A,.不符合; 对于B,,令,∴, 根据对勾函数不符合; 对于C,,令, ∴,当且仅当时取等,符合; 对于D,,令,. 根据对勾函数,不符合. 第9题： 答案：B 解：,向右平移一个单位,向上平移一个单位得到为奇函数，则平移后为. 所以选B. 第10题： 答案：D 解：做出图形,,所以为异面直线所成角,设棱长为.则,,,.,即,故选D. 第11题： 答案：A 解：方法一:由,则的参数方程:.. ∴,故选A. 方法二: