2021年全国甲卷理科数学试题及答案.docx

绝密★启用前 2021年全国甲卷理科数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命卷人： 审核人： 一、选择题（（每小题5分,共60分）） 1. 设集合,,则( ) A. B. C. D. 2. 为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是( ) A. 该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为 B. 该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为 C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元 D. 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于万元至万元之间 3. 已知,则( ) A. B. C. D. 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为,则其视力的小数记录法的数据约为()( ) A. B. C. D. 5. 已知,是双曲线的两个焦点,为上一点,且,,则的离心率为( ) A. B. C. D. 6. 在一个正方体中,过顶点的三条棱的中点分别为,,,该正方体截去三棱锥后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是( ) A. B. C. D. 7. 等比数列的公比为,前项和为,设甲:,乙:是递增数列,则( ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为(单位:),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图,现有,,三点,且,,在同一水平面上的投影,,满足,.由点测得点的仰角为,与的差为:由点测得点的仰角为,则,两点到水平面的高度差约为( )() A. B. C. D. 9. 若,,则( ) A. B. C. D. 10. 将个和个随机排成一行,则个不相邻的概率为( ) A. B. C. D. 11. 已知是半径为的球的球面上的三个点,且,,则三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 12. 设函数的定义域为,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( ) A. B. C. D. 二、填空题（（每小题5分,共20分）） 13. 曲线在点处的切线方程为__________. 14. 已知向量,,.若,则__________. 15. 已知,为椭圆的两个焦点,,为上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为__________. 16. 已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数为__________. 三、解答题（（每小题12分,共60分）） 17. 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分別用两台机床各生产了件产品,产品的质量情况统计如下表:(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? (2)能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附:,  18. 已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列是等差数列:②数列是等差数列:③. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.  19. 已知直三棱柱中,侧面为正方形,,,分别为和的中点,为棱上的点,. (1)证明:; (2)当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小?  20. 抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴上,直线交于,两点,且,已知点,且与相切. (1)求,的方程; (2)设,,是上的三个点,直线,均与相切,判断直线,与的位置关系,并说明理由.  21. 已知且,函数. (1)当时,求的单调区间; (2)若曲线与直线有且仅有两个交点,求的取值范围.  四、选做题（（每小题10分,共20分）） 22A. 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)将的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点的直角坐标为,为上的动点,点满足,写出的轨迹的参数方程,并判断与是否有公共点.  22B. 已知函数,. (1)画出和的图象; (2)若,求的取值范围.   2021年全国甲卷理科数学试卷答案和解析 第1题： 答案：B 解：由图知,. 第2题： 答案：C 解：A.低于万元的比率估计为,正确. B.不低于万元的比率估计为,正确