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5 .设X与Y相互独立,且X与Y分别服从区间(-1,1), (0,1)内的均匀分布, 求方程 无实根的概率. t2+2Xt+Y=0无实根? X2 –Y?0 P{X2 –Y?0}=2/3 解: 6. 已知随机变量X与Y相互独立,X~N(0,1),Y服从[0,2]上的均匀分布,求P{X>Y}. x o y y=x D 答案: 7.设某种鸡下蛋的个数X ~?(?),而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p,记Y表示此鸡的下一代的个数. 试求X与Y的联合分布律,并证明 Y ~?(?p). 解: 即Y ~?(?p) 练习题 1 在元旦茶话会上,每人发给一袋水果,内装3只桔子,2只苹果,3只香蕉.今从袋中随机抽出4只,以X记桔子数,Y苹果数,求X与 Y联合分布律. 答: X Y 0 1 2 3 0 1 2 0 3/70 9/70 3/70 2/70 18/70 18/70 2/70 3/70 9/70 3/70 0 练习题 2 某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55~8:00,而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为 求此人能及时上火车的概率. 答: 1/3 自 测 题 1.设随机变量(X,Y)的密度为 (1)系数A; (2) (X,Y)的分布函数; (3) (X,Y)的边缘分密度; (4) (X,Y)的条件密度; (5) 概率P{X+Y>1}, P{Y>X}, P{Y<1/2|X<1/2}. 试求: 2. 设(X,Y)的联合分布为 X Y 1 2 1 2 0 1/2 1/3 1/6 求: (1) X 和Y 的边缘分布律 及条件分布律. (2) P{X+Y>2}, P{Y>X}. 3 .把4个球随机地放入3个盒子中.设随机变量X,Y分别表示放入第一个, 第二个盒子中的球的个数,求二维随机变量(X,Y)的边缘分布. 0 1 2 3 4 0 1/91 4/91 6/91 4/91 1/91 1 4/91 12/91 12/91 4/91 0 2 6/91 12/91 6/91 0 0 3 4/91 4/91 0 0 0 4 1/91 0 0 0 0 X Y 16/91 32/91 24/91 8/91 1/91 16/91 32/91 24/91 8/91 1/91 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 X Y 1/91 4/91 6/91 4/91 1/91 4/91 12/91 12/91 4/91 0 6/91 12/91 6/91 0 0 4/91 4/91 0 0 0 1/91 0 0 0 0 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 (1)求常数A, B, C; (2)求(X,Y)的概率密度; (3)求(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度; (4) X和Y是否相互独立? 解:(1)根据(X,Y)的分布函数的性质得: (2)(X,Y)的概率密度为: (3) (X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度分别为: (4) 因为 所以X和Y相互独立. 第三章 习题课 ?主要内容 1. 二维随机变量 设E一随机试验,样本空间S={e}, X、Y是定义在S上的随机变量,向量(X,Y)叫做二维随机变(向)量. 2. 二维随机向量(X,Y)的分布函数 性质: (1)F(x,y)是变量 x 和 y 的不减函数; (2) 0 ? F(x,y) ? 1, 且 F(-?,y)=0, F(x, -?)=0, F(-?,-?)=0, F(?,?)=1; (3)F(x,y)关于 x 和 y右连续 ;
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