第二章 随机变量及其分布（2）.ppt

* 对于非离散型随机变量，由于它的可能取值不能一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样用分布律来描述它；另外,非离散型随机变量取指定实数值的概率通常等于零,因而我们主要来研究随机变量所取的值落在一个区间内的概率: P{x1<X ? x2}, 而 §2.3 随机变量的分布函数 P{x1<X ? x2}= P{X ? x2}- P{X ? x1｝ 所以,只要知道 P{X ? x2}和P{X ? x1}就可以了． 下面引入随机变量的分布函数的概念. 设X是一随机变量，x是任意实数，函数 定义 对于任意实数x1 , x2(x1 < x2), 有 P{ x1<X?x2}=P{X ? x2}- P{X ? x1}=F(x2)- F(x1) P{X>x2}=1- P{X ? x2} =1-F(x2) 3.F(x)是右连续的, 即:F(x+0)=F(x). 性质 2.0? F(x) ?1,且 1.F(x) 是非减函数.即若x1< x2,则F(x1)?F(x2). 称为X 的分布函数． x o x (-∞< x < +∞) 注：若一个函数具有以上性质，则它一定是某个随 机变量的分布函数. 一、随机变量的分布函数 例1 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数. 例2 一袋中有6个球,其中2个标号为1, 3个标号为2, 1个标号为3, 任取1个球，以X 表示取出的球的标号, (1) 求X 的分布函数；(2)求 P{2≤X≤3}. 解：X的分布律为 X 1 2 3pk 1/3 1/2 1/6 0 1 2 3 F(x) x 1 设离散型随机变量X的分布律为 二、离散型随机变量X的分布函数 F(x)是阶梯函数, 跳跃点为x1, x2, x3 , …, 跳跃度为p1, p2 , p3 , … X的分布函数为: o x1 x2 x3 … F(x) x 1 p1 p2 p3 … 例3 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数． 解 0 1 2 3 F(x) x 1 本例中的分布函数F(x)的图形是一条连续曲线，且对于任意 x 均有 其中 这说明随机变量 X 的分布函数 F(x) 恰好是某个非负函数f(x)在(-∞,x]上的积分，这种情况的随机变量 X 称为连续型随机变量. 这就是我们下节中要研究的连续型随机变量． §2.4 连续型随机变量的概率密度 1.定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)存在非 负函数 f (x)，使对于任意实数x 有 则称X 为连续型随机变量， f (x)-----X的概率密度函数，简称概率密度． (*) 2. 概率密度f(x)的性质： (4)若f(x)在点 x 处连续, 则 x1 x2 F(x) x o f(x) 1 P{ x1<X≤ x2 } 连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义： x f(x) o x o x f(x) (1)由定义知, 改变概率密度f(x)在个别点的函数值不影响分布函数F(x)的取值,因此概率密度不是唯一的. (2)连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数; [注] (3)连续型随机变量X取任一指定值 a 的概率为0，即 P{ X=a } = 0 . 因为, = 0 故对连续性随机变量，有 P{a<X<b}= P{a<X ? b}= P{a ? X<b}= P{a ? X ? b} 例1 已知连续型随机变量X的分布函数为 试求 X 的概率密度 f(x) 及 P{?/4? X ?2}. 解 f(x)= F? (x) = P{?/4? X ?2}=F(2)?F(?/4)=1?sin ?/4 或 例2 设连续型随机变量X的概率密度为 求 (1)常数 k; (2) X的分布函数 F(x); (3) P{1<X<5/2}. ０　　　 ２　 ３ x x x x x 解 1 例3 设连续型随机变量X